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108新竹能力競賽筆試二

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108新竹能力競賽筆試二

各位老師好,想請教一題
方程式
x^5-x^3-x^2-x-1=0共有5個複數根,這些根的五次方總和為
答案:10

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回復 1# ak269640 的帖子

設\(\displaystyle f(x)=x^5-x^3-x^2-x-1\)
考慮\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}\),直接做除法,所求為\(\displaystyle x^{-5}\)的係數
得到\(\displaystyle 5+2(x^{-2})+3(x^{-3})+2(x^{-4})+10(x^{-5})+\cdots \)
故得解為10

用遞迴也可以,不過3,4次方和不太好算,故放棄此方法

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回復 1# ak269640 的帖子

用餘式定理,把五次方總和改為(三次方總和)+(兩次方總和)+(五根和)+5,可以得到所求=3+2+5=10

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謝謝老師們的解惑

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回復 2# satsuki931000 的帖子

令f(x)=an(x-x1)(x-x2)....(x-xn)  , F(t)=x1^t+x2^t+x3^t+.....+xn^t   
f'/f=1/(x-x1)+1/(x-x2)+.......+1/(x-xn)
    =1/x * [ 1/(1-(x1/x))+1/(1-(x2/x)) + 1/(1-(x3/x))+.........+ 1/(1-(xn/x))]
    =1/x * [ (1+ (x1/x)+(x1/x)^2+....) +(1+ (x2/x)+(x2/x)^2+....) +.........(1+ (xn/x)+(xn/x)^2+....)]
    =F(0)/x+F(1)/x^2+F(2)/x^3+.......
故本題所求為F(5)應該是x^(-6)的係數才對喔!
                  5  +0  -3  -2  -1 ........f'
0                      0   0   0   0   0   0
   1                        5   0   2   3   6 10
      1                          5   0   2   3   6  10
         1                            5   0   2   3   6 10
  f          1                             5   0   2   3   6 10
------------------------------------------------------------
                  5 +0 +2 +3 +6+10+11+..... = 5x^(-1)+0x^(-2)+2x^(-3)+3x^(-4)+6x(-5)+10x^(-6)+...... , x^(-6)的係數 10 為所求.

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-11-11 10:28 編輯 ]

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