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110-1教甄初試試題卷(數學科).pdf (391.23 KB)

2021-5-1 21:50, 下載次數: 612

110-1教甄初試數學科參考答案.pdf (223.35 KB)

2021-5-1 21:50, 下載次數: 451

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2.
若數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\),\(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+2a_{n-1}}\),\(n\ge 2\),\(n\in N\),則\(a_n=\)   。(以\(n\)表示)
[提示]
\(\displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1+2a_{n-1}}{a_{n-1}}=\frac{1}{a_{n-1}}+2\)

擷取部分內容https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1668&page=1#pid8732
1.什麼題目只要算循環節就好,什麼題目才要算出一般項?
2.不動點相同的話,我會算一般項嗎?
3.怎樣的分式遞迴數列是不能用這個方法的?
4.上面ichiban是從\( a_n \mapsto a_{n-1} \mapsto a_{n-2} \mapsto a_{n-4} \),看出\( a_n=a_{n-4} \)數列4個一循環,但假如循環節若是質數你會遇到什麼問題?
5.歷屆試題考過哪些分式遞迴數列,你能不能整理出一份筆記?

回到這題若計算不動點\(\displaystyle x=\frac{x}{1+2x}\),\(x+2x^2=x\),\(x=0,0\)不動點相同而且是0,那要怎麼算

3.
\(\displaystyle S_n=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\)   
(我的教甄準備之路 裂項相消,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

求\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \)的值。
(2004國際奧林匹克香港選拔賽)
[提示]
\( \displaystyle \frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}=\frac{k+2}{k!(1+k+1+(k+1)(k+2))}=\frac{k+2}{k!(k+2)^2}=\frac{1}{k!(k+2)}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{(k+2)-1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)

4.
設\(n\)為自然數,若\(\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\frac{1}{3}C_2^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{4095}{n+1}\),則\(n=\)   

試求\(\displaystyle C_0^{21}+\frac{1}{2}C_1^{21}+\frac{1}{3}C_2^{21}+\frac{1}{4}C_3^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21}=\)   
(100文華高中代理,weiye解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4636)

7.
甲、乙、丙、丁、戊等 5 人,每人都會洗碗,也會做飯,但每餐飯,做飯者不洗碗,某假日午、晚兩餐,做飯者非同一人,洗碗者也非同一人,問有   種情形。
107新竹女中代理,https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html

9.
有一種被稱作『1A2B』的猜數字益智遊戲﹒規則如下:
首先出題者由\(0,1,2,\ldots,9\)當中任取相異四個數字由左到右排成一列(0可以在最前面),讓猜題者去猜這組數字。每次猜完數字後出題者會給猜題者提示,提示的口訣為『\(mAnB\)』﹐其中\(mA\)表示所猜的數字當中有\(m\)個不但猜中了而且數字是在正確的位置,\(nB\)表示所猜的數字當中有\(n\)個猜中了但是數字的位置不正確,例如題目為7132,若猜題者猜1234,則提示『\(1A2B\)』,假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『\(1A3B\)』且在第2次猜到『\(4A0B\)』的機率是   

有一種被稱作『\(mAnB\)』的猜數字益智遊戲﹒規則如下:
首先出題者由\(0,1,2,\ldots,9\)當中任取相異四個數字由左到右排成一列(0可以在最前面),讓猜題者去猜這組數字,每次猜完數字後出題者會給猜題者提示,提示的口訣為『\(mAnB\)』﹐其中\(mA\)表示所猜的數字當中有\(m\)個不但猜中了而且數字是在正確的位置,\(nB\)表示所猜的數字當中有\(n\)個猜中了但是數字的位置不正確,例如題目為7132,若猜題者猜1234,則提示『\(1A2B\)』。
(1)猜題者在第1次就猜到『\(1A3B\)』的機率是   
(2)假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『\(1A3B\)』且在第2次猜到『\(4A0B\)』的機率   
(98國立大里高中段考試題,http://teacher.dali.tc.edu.tw/sh ... /one/098-1-1-3a.doc)

10.
\(A\)柱中有\(n\)個大小不同的圓盤由大而小往上堆疊,若要從\(A\)柱全部搬移至\(B\)柱,每次只能搬動一圓盤,且每次都必須先經中間柱(不可由\(A\)直接放入\(B\))且大盤不可放在小盤之上,設共要搬動\(a_n\)次﹐若\(a_{n+1}=pa_n+k\),求數對\((p,k)=\)   
(100育成高中代理,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1204&page=1#pid5400)

12.
矩形\(ABCD\)中,\(\overline{AB}=2\sqrt{6}\),\(\overline{BC}=6\sqrt{2}\),以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\),則鋪色區域面積為   

矩形\(ABCD\)中,\(\overline{AB}=\sqrt{6}\),\(\overline{BC}=3\sqrt{2}\),以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\),則鋪色區域面積為   
(107新竹女中代理,https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html)

14.
\(n\in N\),若\((1+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}\),其中\(a_n,b_n\)為有理數,則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\)   
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3470

18.
袋中有4紅球, 6白球今自袋中,每次取出一球,取出不放回,取完為止,則取球過程中,紅球個數不多於白球個數的機率為何?

袋中有4紅球,5白球,今自袋中每次取出一球,取出不放回,取完為止。取球過程中,紅球個數不多於白球個數之機率為   
(97家齊女中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=792&page=2#pid14524)

19.
桃高實驗室針對800件血液樣本作檢驗,檢驗方式如下:隨機平分成100組,每組8件血液樣本,將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性機率都是0.2,且只要有一件血液樣本呈陽性反應,其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時,就不須再作細部檢驗,即該組只要一次檢驗即可。當檢驗結果呈陽性反應時,就必須重新將該組8件血液樣本逐一檢驗。依上述檢驗方式,此800件血液樣本檢驗次數的期望值為   

針對900件血液樣本作檢驗,檢驗方式如下:隨機平分成100組,每組9件血液樣本,將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性的機率都是0.1,且只要有一件血液樣本呈陽性反應,其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時,就不須再作細部檢驗,即該組只要一次檢驗即可;而當檢驗結果呈陽性反應時,就必須重新將該組9件血液樣本逐一檢驗,此情況下總共需要10次的檢驗。依檢驗方式,此900件血液樣本檢驗次數之期望值為何?
(1)\(900(1-0.1)^9\) (2)\(900(1-0.9^9)\) (3)\(900(1-0.9^{10})\) (4)\(1000(1-0.9^9)\) (5)\(1000(1-0.9^{10})\)
(大學入學考試中心 學科能力測驗數學考科考試說明,https://www.ceec.edu.tw/files/fi ... AE%9A%E7%A8%BF).pdf)

20.
從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中,任選相異兩根\(z_1,z_2\),則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為   
(109中壢高中代理,happysad解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3339&page=1#pid21461)

從\(z^{2014}=1\)的所有複數根中,任選相異兩根\(z_1,z_2\),則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為   
(106松山工農代理,https://math.pro/db/thread-2837-1-1.html)
(2014TRML個人賽,https://math.pro/db/thread-2028-1-1.html)

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引用:
原帖由 lulu25 於 2021-5-1 21:50 發表
發現還沒有人PO

想問13, 20
非常感謝
#13
令w為x^7=1的一根
則w+w^2+w^3+w^4+w^5+w^6= -1
且(w+w^2+w^4)(w^3+w^5+w^6)=2
所以(w+w^2+w^4)及(w^3+w^5+w^6)為X^2+X+2=0的兩根
所求w+w^2+w^4= (-1+√ 7*i)/2或 (-1-√ 7*i)/2

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回復 2# bugmens 的帖子

20
設  \(\theta\) 為相鄰兩點最大容忍的圓心角
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1^2+1^2-\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2\times1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
因此 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}\)
\(\displaystyle \frac{2\pi}{2020}x<\frac{\pi}{6}\) 得 \(x\leq168\)(相鄰兩點最多只能隔168個間隔)
因此任取兩點滿足條件的機率為 \(\displaystyle 1\times \frac{168\times2}{2020-1}=\frac{112}{673}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2021-5-1 22:33 編輯 ]

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請教第9題

我的想法是 第一次 1A3B  機率是 C(4,4)*C(4,1)*2/P(10,4)  其中 C(4,1)*2 為 某個位置對 另外三個皆不對的可能性
                   第二次 4A  則是 1/4!
但算出來跟答案不太一樣 可以請教一下哪邊有疏漏嗎??

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回復 5# matsunaga2034 的帖子

1 A 3 B 後,知道有一個位置對了,不可能把 4 個數字都大風吹了

先任猜一個位置是對的,剩下三個位置有 2 種猜法
從 1 A 3 B 到 4 A 的機率是 1 / (4 * 2)

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回復 6# thepiano 的帖子

原來如此  感謝~

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15

請問15題怎麼算?

[ 本帖最後由 math1 於 2021-5-3 11:53 編輯 ]

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回復 8# math1 的帖子

第 15 題
1/2 < x <= 1,f(x) = (a_1)x
1/3 < x <= 1/2,f(x) = (a_2)x^2
1/4 < x <= 1/3,f(x) = (a_3)x^3
:
:
由於 f(x) 在 (0,1] 連續
(a_1)(1/2) = (a_2)(1/2)^2
a_2 = 2a_1

(a_2)(1/3)^2 = (a_3)(1/3)^2
a_3 = 3a_2

a_1 = 1,a_n = n!

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-5-3 11:54 編輯 ]

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回復 8# math1 的帖子

同「106臺中一中」第10題

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