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110板橋高中

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回復 40# thepiano 的帖子

請問老師k>=7之後如何判斷3*2^(x-2)無法分解成兩個差2的整數相乘??

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回復 51# Uukuokuo 的帖子

由於要分成兩個差 2 的整數相乘,那兩個數要愈接近愈好

3 * 2^5,分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^3
兩個數差 2^2 * (3 - 2) = 4

3 * 2^6,分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^4
兩個數差 2^2 * (2^2 - 3) = 4

其餘的比照辦理

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回復 52# thepiano 的帖子

感恩,謝謝

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回復 20# peter0210 的帖子

您好,想借這一題來請教。
因為這題剛好是三次方後,y的次方皆為整數 (原x次方剛好一個餘2一個餘1)。
想請問如果像是 f(x)=x^12+6*x^11-1 這樣子的話,想求其12個根的三次方為根的方程式有辦法嗎?
-------
想了又想,就突然自己想出來了
令 y=x^3
f(x)=y^4+6x^(11/3)-1=0
--> (y^4-1)^3 = 6*x^11

[ 本帖最後由 L.Y. 於 2021-6-2 23:52 編輯 ]

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回復 54# L.Y. 的帖子

一般都是這麼做,但其中有一些小細節,不是很確定、明白,
借此順帶提出,看看有沒有什麼好答案。
這樣的代換,會保證原本每個根的三次方,都是新的方程式的根,
但應該不保證新的方程式的 12 個根就是原 12 個根的三次方

裡面牽扯到的是重根問題,以下舉一個例子,比較容易明白我想說什麼

例如:方程式 \( x^2 = 4 \) 的兩根為 \( x = -2, 2 \)
若要找以此兩個根的平方為根的二次方程式,
仿造上面將等式的左右兩側平方,則得 \( (x^2)^2 = 16 \)
再把 \( x^2 \) 以 \( y \) 代換掉,則得方程式 \( y^2 = 16 \)
我們可以看到,\( y = 2^2 = (-2)^2 = 4 \) 都是新方程式的根,
但 \( y^2 = 16 \) 的解為 \( y = 4, -4 \),其中 \( -4 \) 並不是原 x 方程式根的平方。
也就是說 \( y^2 = 16 \) 並不是我們要找的方程式。

重做一次代換,先將 4 移項,\( (x^2 -4)^2 =0 \) 代換之後寫成 \( (y-4)^2 = 0 \)
新方程式 y 的兩根為 4, 4。這組就是正確的達到我們的要求了。

以上兩個代換,還有 54# 的代換,有一些小細節上的不同,
哪個環節的不同,造就了結果的差異,如何完整的說明 #54 的結果必然正確?
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 55# tsusy 的帖子

寸絲老師您好,
謝謝您的想法,都沒注意到這個細節!
我還菜想不到什麼解釋

針對我自己的題目我算了一下三次方後會不會有重根的出現
算起來是沒有的,希望對這題有更嚴謹了一些

附件

358511FB-BCAE-41FD-B544-63A36BEB9682.jpeg (219.38 KB)

2021-6-4 00:36

358511FB-BCAE-41FD-B544-63A36BEB9682.jpeg

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回復 45# anyway13 的帖子

請教老師,這題之所以可以這樣做,是因為R是對稱圖形且知道中心位置嗎?

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回復 57# jerryborg123 的帖子

這是Pappus定理 只要知道R的中心位置都可以這樣做
只是該題圖形的中心座標很顯然就是了

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