110臺中一中

版上老師好

計算二第二小題,請問有沒有比較快的做法

因為訂好坐標在一個 一個算很慢很複雜

計算二
多項式方程式\(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0\)的四根為\(\alpha,\beta,\gamma,\phi\)
(1)試求\(\displaystyle\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}++\frac{1}{1-\phi}\)。(5分)
(2)在複數平面上一點\(1+i\)，此點為\(A\)，\(f(x)=0\)的四根在複數平面上為\(P,Q,R,S\)
試求\(\overline{AP}\times\overline{AQ}\times\overline{AR}\times\overline{AS}=\)？(5分)
[解答]
(2)
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x - α)(x - β)(x - γ)(x - ψ)

AP * AQ * AR * AS = |[(1 + i) - α][(1 + i) - β][(1 + i) - γ][(1 + i) - ψ]|
= |(1 + i)^4 + (1 + i)^3 + (1 + i)^2 + (1 + i) + 1|

謝謝鋼琴師。

版上老師好

請教計算二第一小題, 謝謝

計算二(1)
\(\begin{align}
  & {{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=\left( x-\alpha  \right)\left( x-\beta  \right)\left( x-\gamma  \right)\left( x-\phi  \right) \\
& \frac{1}{1-\alpha }+\frac{1}{1-\beta }+\frac{1}{1-\gamma }+\frac{1}{1-\phi } \\
& =\frac{\left( 1-\beta  \right)\left( 1-\gamma  \right)\left( 1-\phi  \right)+\left( 1-\alpha  \right)\left( 1-\gamma  \right)\left( 1-\phi  \right)+\left( 1-\alpha  \right)\left( 1-\beta  \right)\left( 1-\phi  \right)+\left( 1-\alpha  \right)\left( 1-\beta  \right)\left( 1-\gamma  \right)}{\left( 1-\alpha  \right)\left( 1-\beta  \right)\left( 1-\gamma  \right)\left( 1-\phi  \right)} \\
& =\frac{f\ '\left( 1 \right)}{f\left( 1 \right)} \\
& =2 \\
\end{align}\)

非常感謝您

老師好，請教老師，後面算幾應當如何做?謝謝!

原式等同\(\displaystyle |\frac{13a^2+24a+52}{a}|\)
若\(\displaystyle a>0 \Rightarrow 13a+\frac{52}{a}+24\geq 52+24=76\)
若\(\displaystyle a<0 \Rightarrow 13a+\frac{52}{a}+24\leq -52+24=-28\)


故\(\displaystyle |\frac{13a^2+24a+52}{a}|\geq 28\)