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96高雄聯招

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96高雄聯招

如附件
小弟有疑問的是計算第2題
不曉得是否小弟誤解題意
如果取\(a \notin Q,p=0 \),則\(x_1,x_2,x_3,x_4 \)全部取0不就是一組整數解嗎
還是說題目實際上應該是要證明沒有非0整數解?

附件

高雄市96學年度市立高級中等學校聯合教師甄選數學.pdf (47.07 KB)

2021-1-31 15:17, 下載次數: 63

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順便詢問一下第12題,應該是小細節的問題
由柯西不等式可以知道\(n=1,2,3,4 \)
接著一一去檢驗
1,2,4都好驗證
唯獨n=3的時候頭疼了一陣子
事後發現取\(x_1=1 \),剩下兩個變數\(x_2,x_3 \)剛好會是正實數解
所以n=3也會成立

以下是不知道能不能這樣想的一般情形做法,還請各位先進指點指教

根據\(\displaystyle\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=2 \)
可令\(x_1 x_2 x_3=t ,x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=2t \)

因此\(x_1,x_2,x_3 \)為 \(A^3-8A^2+2tA-t=0 \)的三根
令\(f(A)=A^3-8A^2+2tA-t=0 \),則\(f'(A)=3A^2-16A+2t \)
要有三實根,故\(f'(A)=0 \)需有兩實數根 \(\alpha,\beta \)
因此首先\(\displaystyle 256-12t>0,t<\frac{64}{3} \)..........(1)
而\(f(\alpha)g(\beta)=(\displaystyle \frac{4}{3}t-\frac{128}{9})(\alpha+\beta)+\frac{50}{9}t \)
又 \(\displaystyle\alpha+\beta=\frac{16}{3} \)
因此\(\displaystyle f(\alpha)f(\beta)=\frac{114}{9}t-\frac{2048}{27}<0 \)
\(\displaystyle t<\frac{1024}{171} \)...........(2)
最後因為三根皆為正,所以\(f(0)<0 \),得\(t<0 \)...........(3)
由(1)(2)(3)只要\(t<0 \),即\(x_1 x_2 x_3<0 \) ,必能保證\(x_1, x_2 ,x_3 \)為正實數解

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-1-31 15:54 編輯 ]

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回復 1# satsuki931000 的帖子

https://penozy.pixnet.net/album/photo/89629730
證明二當年考應該有疑義
有找到別人部落格詳解

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