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請問老師以下問題:
空間兩相異的單位向量\(\vec{OA}=(m,n,0)\)和\(\vec{OB}=(p,q,0)\),與\(\vec{OC}=(1,1,1)\)的夾角均為\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\),則\(∠AOB=\)   

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0116計算.pdf (108.58 KB)

2021-1-16 18:30, 下載次數: 97

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易知
\( m+n=\frac{\sqrt{6}}{2} \)  且  \(m^2+n^2=1\)
計算可得\(m=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},n=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)
因為\(\vec{OA} \neq \vec{OB} \)
所以易知 \(p=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},q=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)
接下來就簡單了
所求為\(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1\times 1\times cos\theta \)
\(cos \theta =\frac{1}{2} \)
\(\theta= \frac{\pi}{3}\)

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回復 3# satsuki931000 的帖子

satsuki931000老師好

您的解法已經了解了,想要請教pi/4是不是也是答案呢?

因為在2F附件的算式中,本來是要和您一樣解m,n,p,q

後來發現(2),(3)用不到  直接得出pi/4,除了樓主提共的答案是

pi/3,要怎麼剔除pi/4的答案   謝謝

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您的算式裡面假設\(OA,OB\)夾角45度
但題目應該沒有說他們兩個的夾角
我的解讀是前兩個向量都和\( OC \)夾45度
但 \(OA,OB\) 夾角是未知的

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設 O 為原點,則 A, B 皆為xy平面上的點,

易知 OC與正向z軸夾角的餘弦值為 1/√3,

OC與正向z軸夾角的正弦值為 √2/√3

得 OC 在xy平面的投影長 = (√2/√3)*OC長 = √2

因為 OC 與 OA或OB 夾角皆為 pi/4,所以 OC 在 OA或OB 上的投影長皆為 √3/√2

設 OA 與 OB 夾角為 2 theta,

則 (中間透過三垂線定理)

cos theta = (√3/√2)/√2 = √3/2

得 theta = 30度

OA 與 OB 夾角為 60度  =  pi/3。

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回復 5,6# satsuki931000 的帖子

謝謝satsuki931000老師,我條件看錯了

謝謝weiye老師的另解

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