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2006 MPSI 入學考試 第8題

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2006 MPSI 入學考試 第8題

朋友問的,想不出來,附上英文版題目及翻譯,請各位大神一起幫忙想想看
但我不知道為什麼打latex語法都沒辦法顯示,只好附圖片檔

附件

1589429649749.jpg (183.19 KB)

2020-5-17 22:48

英文版題目

1589429649749.jpg

97551919_575547099753627_5533353302562963456_n.png (31.86 KB)

2020-5-17 22:48

中文版題目

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回復 1# JingLai 的帖子

我只會證明第1題
顯然a^n-1≡0 (mod a^n-1),則
a^n≡1 (mod a^n-1)
a^(nk)≡1^k≡1 (mod a^n-1)
(a^k)^n≡1 (mod a^n-1)
b^n≡1 (mod a^n-1)
b^n-1≡0 (mod a^n-1)
即(b^n-1)皆為(a^n-1)之倍數
故u_n皆為正整數

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回復 1# JingLai 的帖子

之前做過,我覺得我的做法不太好

2. 歸謬法、計算 \( \lim\limits_{n\to\infty} au_{n+1} - bu_{n} =0 \)

(1) \( au_{n+1}-bu_{n}=\frac{(b-1)a^{n+1}+(1-a)b^{n+1}+a-b}{(a^{n+1}-1)(a^{n}-1)} \)

觀察分子,易論證 \( n \) 夠大時,分子為負,故 \( au_{n+1} - bu_n \neq 0\)

(2) 承 (1) 的通分式,分子拆開,可得 \( \lim\limits_{n\to\infty} au_{n+1} - bu_{n} =0 \)

(3) 設 \( u_n \) 皆為正整數,當 \( n \) 夠大時,
由 (1) 及(3)的假設可得 \( au_{n+1} - bu_n \) 為非 0 整數,故\( |au_{n+1} - bu_n | \geq 1 \)
與 (2) 中結論矛盾,故存在正整數 \( n \) 使得 \( u_n \) 不為正整數

3. 基本上就是要仿照2的構造一個輔助式,印象不難做

4. 如果一直構造下去的話,會得到除了 1. 以外,都能找到正整數 \( n \),使得 \( u_n \) 不是正整數
但...那個構造,我沒找到簡潔的式子可以一直構造下,也就是沒完成證明

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-5-19 22:29 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 1# JingLai 的帖子

3.
注意
\( a^{2}(au_{n+2}-bu_{n+1})-b(au_{n+1}-bu_{n})=\frac{(1-a)(1-a^{2})b^{n+2}}{(a^{n+2}-1)(a^{n+1}-1)(a^{n}-1)}+a^{2}\cdot\frac{(b-1)a^{n+2}+a-b}{(a^{n+2}-1)(a^{n+1}-1)}-b\cdot\frac{(b-1)a^{n+1}+a-b}{(a^{n+1}-1)(a^{n}-1)} \)

當 \( b <a^3 \) 時,上式極限為 0;當 \( b> a^2 \) 且 \( n \) 夠大時,上式為負
剩下的論證同第 2 小題
文不成,武不就

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