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機率(取球問題)--第k次的狀況不知如何解

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機率(取球問題)--第k次的狀況不知如何解

若袋中有相同大小的四紅球和三白球,每次取一球,若取出為紅球,則取後放回時要多放一紅球,同理,若取出為白球,則取後放回時要多放一白球,試問: (1)第三次取出為紅球的機率為?(2)第k次取出為紅球的機率是?

(1)4/7*5/8*6/9+3/7*4/8*5/9+4/7*3/8*5/9+3/7*4/8*4/9=4/7
(2)猜測是4/7,卻無法用式子證明,求高手解答

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回復 1# Latte 的帖子

試試數學歸納法

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有嘗試找過遞廻關係,但失敗了
也想用數歸,但因為無法寫出和前項關係,所以求救。

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回復 3# Latte 的帖子

第\(n\)次取出紅球的機率為\({{a}_{n}}\)
\({{a}_{1}}=\frac{4}{7}\)成立
設\({{a}_{k}}=\frac{4}{7}\)成立,可設第\(k\)次取球前,袋中有\(4x\)個紅球,\(3x\)個白球

\(\begin{align}
  & {{a}_{k+1}}={{a}_{k}}\times \frac{4x+1}{7x+1}+\left( 1-{{a}_{k}} \right)\times \frac{4x}{7x+1} \\
& =\frac{4}{7}\times \frac{4x+1}{7x+1}+\frac{3}{7}\times \frac{4x}{7x+1} \\
& =\frac{4}{7} \\
\end{align}\)

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