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108竹北高中代理

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想請問各位老師填充第九題。
雖有利用取OA=半長軸=5,OB=半短軸=4求出正確答案,
想以一般方法卻做不出來,這邊謝過各位老師了!

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回復 11# Harris 的帖子

填充9.
已知\(O\)為原點,\(A,B\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)上兩點,且\(\overline{OA}⊥\overline{OB}\),則\(\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}^2}+\frac{1}{\overline{OB}^2}=\)   .

https://math.pro/db/thread-621-1-1.html

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回復 11# Harris 的帖子

設\(\displaystyle A(s,t),B(\frac{t}{z},-\frac{s}{z})\)
則\(\cases{\displaystyle \frac{s^2}{25}+\frac{t^2}{16}=1\ldots(1)\cr
\frac{t^2}{25}+\frac{s^2}{16}=z^2\ldots(2)}\)
\(\displaystyle (1)+(2) \Rightarrow (s^2+t^2)(\frac{1}{25}+\frac{1}{16})=1+z^2\)
所求\(\displaystyle =\frac{1+z^2}{s^2+t^2}=\frac{1}{25}+\frac{1}{16}=\frac{41}{400}\)
用此法可一目了然定值的原因.

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