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根與係數的解法

本主題由 weiye 於 2019-6-11 09:14 移動
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x, y, z ∈ Z 且滿足 x³ + y³ + z³ = 132 與 x + y + z = 6,求 (x, y, z)。


由  (x + y) | (x³ + y³)

⇒  (z - 6) | (z³ -  132)

⇒  (z - 6) | 84

同理 (x - 6) | 84 且 (y - 6) | 84

因 84 的因數較多,進一步篩選: 由立方和易知 x - 6, y - 6, z - 6 皆形如 3k+2

即 ∈ { -28, -7, -4, -1, 2, 14 }

又 x - 6, y - 6, z - 6 之和 = -12 且為 2奇 1偶

⇒ { x, y, z } = { -1, 2, 5 }

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回復 11# cefepime 的帖子

想請問為何 x - 6, y - 6, z - 6 皆形如 3k+2
以及 x - 6, y - 6, z - 6一定是2奇 1偶

這兩部分不太懂

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回復 12# satsuki931000 的帖子

若x,y,z均為偶數,其何必為8的倍數
但是132=4*33
又x+y+z=6,所以必為2奇1偶

剩下那半,我就不知道了((從第3行變到第4行,我不懂))

我的方法是:
令x,y為奇數,z=6-x-y
x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+(6-x-y)^3=132
把(x+y)不拆的方式,拆解
可整理出
(x+y)(x-6)(y-6)=28
因為x,y為奇數,所以和必為偶數,也只有x+y是4的倍數
所以令x=4a+1,y=4b+3,a.b為整數
整理出(a+b+1)(4a-5)(4b-3)=7
唯一解為a=1,b=-1
所以x=5,y=-1,z=2
但X、Y、Z順序可任意變換,所有共有6組解((就是3個數字排序))

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回復 13# yi4012 的帖子

(z - 6) | (z³ -  132)

又 (z - 6) | (z³ - 6³)

(z - 6) | (z³ - 132) - (z³ - 6³)

(z - 6) | 84


回復 12# satsuki931000 的帖子

把整數 n 依模 3 分類,易知

n³ ≡ -1, 0, 1 (mod 9)

又 x³ + y³ + z³ ≡ -3 (mod 9)

⇒  x, y, z 皆形如 3k-1 (或 3k+2)

⇒  x-6, y-6, z-6 亦然


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回復 14# cefepime 的帖子

感謝說明

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此題若是填充題, x³ + y³ + z³ = 132 與 x + y + z = 6 ,
則觀察  1^3=1 , 2^3=8 , 3^3=27 , 4^3=64 , 5^3=125 , 6^3=216 , 7^3=343 , 8^3=512 , 9^3=729 , 10^3=1000 , 11^3=1331 , 12^3=1728
應該很快就可看出{x,y,z}={5,2,-1}
若改為 x³ + y³ + z³ = 126 與 x + y + z = 6 , 則 {x,y,z}={8,7,-9} , {5,1,0} 有別的解的機率應該很低吧?

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-5-24 15:32 編輯 ]

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