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108北一女中

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兩位老師圖形中 P 點和 Q 點的位置標反了
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請問第 7 題,
我解釋的方法是「若將 AC = 2 代回原本三角形,會發現 ABC 應為等腰直角三角形,但是邊長比不符,所以 AC = 2 不合 。」
不知道有沒有更好的解釋方法?因為若只能將求得的值代回檢驗,我不知道該如何判定 AC = 5/2 是正確答案。

另外,附上整理後的答案供各位參考。

附件

108北一女中(記憶版)參考答案.pdf (144.82 KB)

2019-8-2 02:13, 下載次數: 4179

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引用:
原帖由 Superconan 於 2019-8-2 02:13 發表
請問第 7 題,
我解釋的方法是「若將 AC = 2 代回原本三角形,會發現 ABC 應為等腰直角三角形,但是邊長比不符,所以 AC = 2 不合 。」
不知道有沒有更好的解釋方法?因為若只能將求得的值代回檢驗,我不知道該如何判定 AC = 5/2 是正確答案。.
填充第七題:

前半段利用正弦定理算出 \(\cos C= \frac{3}{4}\),到此作法無誤。

後半段利用 \(\overline{AC}\) 滿足餘弦定理 \(\overline{AC}^2 +3^2-2\cdot \overline{AC} \cdot 3 \cos C = 2^2\) 尚可,

不至於全然說是錯,只是尚未排除不可能的值....咦?為什麼會產生不滿足條件的值呢?說明如下。

就像 『"\(x=3 \Rightarrow (x-3)(x-2)=0\)" 的逆敘述 "\((x-3)(x-2)=0 \Rightarrow x=3\)" 不一定成立。』

由餘弦定理,可知 \(x=\overline{AC}\) 滿足條件 \(x^2 +3^2-2\cdot x \cdot 3 \cos C = 2^2\) ,

不保證所有滿足條件 \(x^2 +3^2-2\cdot x \cdot 3 \cos C = 2^2\) 的 \(x\) 值都會是 \(\overline{AC}\),

因為 \(x^2 +3^2-2\cdot x \cdot 3 \cos C = 2^2\)  是一元二次式方程式,至多有兩個根。

除了求出兩個可能的 \(x\) ,再排除不適合的值以外。

比較適合的做法,是在求出 \(\cos C = \frac{3}{4}\) 之後,

先求 \(\cos B = \cos\left(180^\circ - \left(\angle A+\angle C\right)\right) = \cos\left(180^\circ - 3\angle C\right)= 3\cos C-4\cos^3 C = \frac{9}{16}\)

再利用餘弦定理,得 \(\overline{AC}=\sqrt{2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3 \cos B}=\frac{5}{2}\)。





註:如果不是因為要教三角函數,這題也可以只使用相似三角形就求出來。

多喝水。

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