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複數極式與不等式

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複數極式與不等式

請問此題的作法?謝謝解題!

\(i\)為虛數單位。試問滿足\((1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}\)的最小整數為多少?
答案:71

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\( 2^{\frac{n}{2}}(\cos n\times45^\circ+i\sin n\times45^\circ)+2^{\frac{n}{2}}(\cos n\times(-45^\circ)+i\sin n\times(-45^\circ))>10^{10} \)
\( 2^{\frac{n}{2}+1}\cos n\times45^\circ>10^{10} \)
\(\cos n\times45^\circ \)在mod 8情況下只有0,1,-1是正的,所以討論這三個就好
mod 8是1和-1時,\(\displaystyle\cos n\times45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} \),取log可以知道\(n>65\),所以取71
mod 8是0時,\(\displaystyle\cos n\times45^\circ=1\),取log可以知道\(n>65\),所以取72
最小就是71

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2019-3-1 23:08 編輯 ]

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