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離散數學

離散數學

Prove that there does not exist a continuous, bijective function f:[0,1)R.請問如何證明,使用IVT?



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我們來證明:在區間 ([0, 1)) 上不存在一個連續且一一對應的函數 (f: [0, 1) \to \mathbb{R})。

首先,讓我們假設這樣的函數 (f) 存在。我們將使用**中值定理(Intermediate Value Theorem, IVT)**來證明矛盾。

連續性:由於 (f) 是連續函數,它在區間 ([0, 1)) 上連續。
一一對應:假設 (f) 是一一對應的,即對於所有 (x_1, x_2 \in [0, 1)),如果 (f(x_1) = f(x_2)),則必須有 (x_1 = x_2)。

使用 IVT 來尋找矛盾:

考慮 (a, b \in [0, 1)) 且 (a < b)。由於 (f) 是連續的,根據 IVT,對於任意 (y) 在 ([f(a), f(b)]) 內,存在一個 (c \in (a, b)) 使得 (f© = y)。
現在,讓我們選擇 (y = 0)。根據 IVT,存在 (c \in (a, b)) 使得 (f© = 0)。
但是,我們已經知道 (f(0) = 0)(因為 (f) 是一一對應的,所以只有 (x = 0) 才能對應到 (f(x) = 0))。因此,(c) 必須等於 0,即 (c = 0)。
這導致矛盾,因為 (c) 在區間 ((a, b)) 內,而 (a < b)。所以我們無法找到一個 (c) 使得 (f© = 0)。
因此,我們的假設錯誤,不存在一個連續且一一對應的函數 (f: [0, 1) \to \mathbb{R})。

答案是證明成功,這樣的函數不存在。
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