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級數求和問題-1

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級數求和問題-1

試求1^2 - 3^2 + 5^2 - 7^2 + 9^2 - 11^2  + ... 至2n的和。  答案是:-8n^2  
感謝各位大大的幫忙!

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每一個都是奇數的平方,怎會有 2n?

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更新:試求1^2 - 3^2 + 5^2 - 7^2 + 9^2 - 11^2  + ... 至2n項的和。

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回復 3# shmilyho 的帖子

\(\begin{align}
  & {{1}^{2}}-{{3}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}}+{{9}^{2}}-{{11}^{2}}+\cdots +{{\left( 4n-3 \right)}^{2}}-{{\left( 4n-1 \right)}^{2}} \\
& =\left( 1-3 \right)\left( 1+3 \right)+\left( 5-7 \right)\left( 5+7 \right)+\left( 9-11 \right)\left( 9+11 \right)+\cdots +\left[ \left( 4n-3 \right)-\left( 4n-1 \right) \right]\left[ \left( 4n-3 \right)+\left( 4n-1 \right) \right] \\
& =-2\times \left[ 4+12+20+\cdots +\left( 8n-4 \right) \right] \\
& =-8\times \left[ 1+3+5+\cdots +\left( 2n-1 \right) \right] \\
& =-8{{n}^{2}} \\
\end{align}\)

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謝謝大大!

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