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含絕對值不等式問題求解

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含絕對值不等式問題求解

解不等式:\( \left |  \sqrt{2x-1}-x \right | < 2\)
答: \(\frac{1}{2}\leq x<5\)


小弟的解法如下:
\(\left\{\begin{matrix}
2x-1 \geq  0~~~and\\  
-2<\sqrt{2x-1}-x<2
\end{matrix}\right.\)
解得
\(  
\left\{\begin{matrix}
x \geq  \frac{1}{2}~~~and\\  
x^{2}-4x+4<2x-1 \Rightarrow (x-1)(x-5)<0 \\
x^{2}+4x+4<2x-1  (\text{ 恆正 })
\end{matrix}\right.\)
移項分解得
\(
\left\{\begin{matrix}  x \geq \frac{1}{2} ~~~and\\
1<x<5  \end{matrix}\right.\)
所以 \(1<x<5\)

沒有計算錯誤,請問這樣做的問題在哪邊?或是說這類題目不能這樣解??
感覺上似乎跟\(x-2\)的正負有關係才會有問題,先謝謝老師了。

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回復 1# kggj5220 的帖子

這部份應是這樣
\(\begin{align}
  & -2<\sqrt{2x-1}-x \\
& x-2<\sqrt{2x-1} \\
\end{align}\)
\((1)\frac{1}{2}\le x<2\),恆成立
\((2)\ x\ge 2\),\({{\left( x-2 \right)}^{2}}<2x-1\quad \Rightarrow \quad 2\le x<5\)
由\(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\frac{1}{2}\le x<5\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-11-20 23:05 編輯 ]

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感謝皮大~根號外的正負也要分段去討論...我竟然......現在才知道...

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