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106嘉義學科能力競賽 不會的問題

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106嘉義學科能力競賽 不會的問題

不會的問題 煩請各位老師求解 謝謝

[ 本帖最後由 GeoGaLaXY 於 2017-11-12 16:22 編輯 ]

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1. 43人參加三項鐵人競賽,已知每人每項的分數皆為0,1,2,…,6分中的其中一個,求證: 至少存在兩人, 其中一人的各項分數均不比另一人對應項的分數低。
2.已知存在一多項式f(x)及一常數c, 其中c>0,滿足
   |f(x)-f(1)|≤c|x-1|^5
已知f(0)=-8, f(3)=40 求f(1)=?
下一題的話我是用交比來解 然後再用反證 不知道有沒有其他證法?

[ 本帖最後由 GeoGaLaXY 於 2017-11-12 16:19 編輯 ]

附件

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2017-11-12 16:13

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2017-11-12 16:13

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個人想法如下,正確性待考:

1.

若有 2 人在某兩項皆同分,則此 2 人為所求,命題成立。 ...... (情形1)

以下把題目圖像化。對於二維平面上的格子點 (p, q),其中 0 ≤ p ≤ 6,0 ≤ q ≤ 6,則 :

x + y = 5,x + y = 6,x + y = 7 三條直線分別含有 6,7,6 個格子點 (p, q)。現若欲取 7 或 6 個相異的格子點 (p, q),使其任意兩點的連線皆具有負斜率,則這些格子點必位於前述三條直線上 (由 "當 p 值變大,則 q 值變小" 即易得此結論)。...... (#)

令三個競賽項目為 A,B,C。依 A 項目的得分將 43 人分為 7 組 (同分者同組),並將每人在 B,C 項目的得分 p,q 對應到上述的格子點 (p, q) :

a. 若某 1 組內,有 2 點連線不具有負斜率 (包括 2 點重合),則此 2 人為所求,命題成立。...... (情形2)

b.  (承 a) 否則,每 1 組至多 7 人 (若有 8 人,則此 8 人在 B 項目必有 2 人同分,為情形2),則必存在 4 組至少有 6 人。考慮這 4 組人對應到的所有格子點 (p, q),依 (#) 的結論必位在其所述的三條直線上。由於該三條直線上僅有19 個格子點 (p, q),故這 4 組格子點 (至少 24 個) 必有重合而成為情形1,命題成立。

綜上,得證。


2. (先作出 y = c |x-1| 的圖形,較易體會)

考慮多項式 g(x) = f(x) - f(1),則 :

一. deg [ g(x) ] = 5。 因若 deg [ g(x) ] > 5,則存在足夠大的 x 使題目的不等式不成立; 而若 deg [ g(x) ] < 5,則存在足夠接近 1 的 x 使題目的不等式不成立。又 g(x) 不會是零多項式。

二. 可令 g(x) = a (x-1)。因若 1 不是 g(x) = 0 的五重根,則存在足夠接近 1 的 x 使題目的不等式不成立。

再代入題目條件,得 f(1) = - 72/11


[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-11-15 23:58 編輯 ]

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謝謝指教!
多項式那題大概懂了 第一題慢慢研究中

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