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有關三角形邊長與高的不等式證明

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有關三角形邊長與高的不等式證明

三角形三邊長a、b、c及對應的高為h_a、h_b、h_c
試證(a/h_a)+(b/h_b)+(c/h_c)>=5/2

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對於所求式,我用柯西+海龍+算幾,得到下界 2√3,取等條件為正三角形。

題目的下界,似可用排序不等式簡明得到:

(a / h_a) + (b / h_b) + (c / h_c) ≥ (a / h_b) + (b / h_c) + (c / h_a) > 3

(∵ a ≥ h_b,餘類推)

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忘記題目有一條件為非鈍角三角形,謝謝!

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所有三角形皆滿足的性質,當然也適用於"有條件的三角形"。

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下界 2√3 的另一個求法:

題目左式

≥ csc A + csc B + csc C  (排序不等式)

≥ 3 csc 60°  (Jensen 不等式)

= 2√3

[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-10-2 21:08 編輯 ]

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cefepime老師及板上各位老師不好意思,出題者再次向我更正題目為:
非鈍角三角形,邊長a,b,c上對應的高分別為h_a,h_b,h_c,試證
(h_a/a)+(h_b/b)+(h_c/c)>=5/2
造成困擾,抱歉!

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