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例題:利用三角函數的疊合,求極大值與極小值

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例題:利用三角函數的疊合,求極大值與極小值

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題目:若 y=f(x)=√(9-x^2) + 4x / 3 ,且 -3≦x≦3,求x為多少時,f(x)的極大值與極小值各別為多少?

解:

令 x= 3 cosθ, 0≦θ≦Pi

則 y= 3 sinθ + 4 cosθ = 5 sin(θ+φ), 其中 φ 為滿足 cosφ=3/5, sinφ=4/5 的一個銳角





所以,當 θ+φ = Pi/2 + 2 k*Pi (k 為任意整數) , y 有最大值 5

此時, θ = - φ + Pi/2 + 2 k*Pi

x = 3 cosθ = 3 cos(- φ + Pi/2 + 2 k*Pi)

 = 3 sinφ = 3*4/5 = 12/5



當 θ+φ = φ+Pi ,也就是當 θ=Pi 弧度時, y 有最小值 - 4

此時, x = 3 cosθ = -3



此題目來自:http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=33988

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