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106新竹高商

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回復 9# thepiano 的帖子

感謝thepiano老師長期的熱心回覆並分享解法,小弟受到許多的幫助!感恩~~

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回復 5# eyeready 的帖子

抱歉,我想請教填充14的第一行是如何整理得來

另外想請教填充4的做法,感謝指導

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回復 12# JOE 的帖子

已編輯!

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填充題 4. 已知 m,n 為正整數且 m² < 7n²,求 7n² - m² 的最小值為 ?


另解: 題意即考慮不定方程  7n² - m² = k,k 的情形。

基於左式有係數 7,分析以 7 為模的餘數是合理的。

m² ≡ 0,1,4,2  (mod 7)

⇒ 7n² - m² ≡ 0,6,3,5  (mod 7)

題目求最小值,故從最小的候選者依序考慮。

先試 k = 3,對應的 m ≡ ±2  (mod 7),故再試 m = 2,得 n = 1。 ^_^ !  (m = 5,n = 2 亦可)

所求最小值 = 3



填充題 14. 設 a, b, c 為正實數,且 a + b + c = 1,求 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) 之最小值為 ?


解 1: 由冪平均不等式,有

√ [ (a²+b²) /2 ] ≥ (a+b) /2

√ [ (b²+c²) /2 ] ≥ (b+c) /2

√ [ (c²+a²) /2 ] ≥ (c+a) /2

三式相加並移項,得 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )


解 2: 由柯西不等式: (a²+b²)*(1²+1²) ≥ (a+b)²,其餘類推,則與上法殊途同歸。


解 3: 由三角不等式: √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b)² + (b+c)²] + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b+c)² + (b+c+a)²] = √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )


解 4: 數形結合

令向量 u = (a, b),v = (b, c), w = (c, a),則向量和 u + v + w = (1, 1)

所求即 |u| + |v| + |w| ≥ | u+v+w | = √2   ( 當 a = b = c 時取等號 )

(不用向量的話,亦可畫個邊長為 1 的正方形說明)


註: 由上列若干方法知,題目設 a, b, c 為 "實數" 即可 (不需為正)

[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-6-7 01:49 編輯 ]

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回復 13# eyeready 的帖子

感謝 eyeready 老師與 cefepime老師 的指導

讓我獲益良多

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回復 4# laylay 的帖子

請問這個問題有計算題適用的解法嗎,感謝指導

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回復 2# litlesweetx 的帖子

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回復 1# weni 的帖子

初試最低錄取分數變成 60 分

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想請問第九 第18題

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回復 19# satsuki931000 的帖子




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