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兩等比數列,第n項的比為(2n+3):(6n+4),試求前30項和的比?

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兩等比數列,第n項的比為(2n+3):(6n+4),試求前30項和的比?

請教各位老師

兩等比數列,第n項的比為(2n+3) : (6n+4),試求前30項和的比?

不好意思  沒答案

PS  另外一問:為什麼  不可以n代1  得a1=b1*t 類推 得a2=b2*t....之間的關係

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兩等比數列對應第 n 項相除之後,所成的數列亦為等比數列,所以題目敘述有誤。

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回復 2# weiye 的帖子

抱歉,不懂

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設兩等比數列為 \(<a_n>, <b_n>\),公比分別為 \(r_1, r_2\)

則 \(a_n=a_1\cdot r_1{}^{n-1}, b_n=b_1\cdot r_2{}^{n-2}\)

\(\displaystyle\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_1\cdot r_1{}^{n-1}}{b_1\cdot r_2{}^{n-2}}=\left(\frac{a_1}{b_1}\right)\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{n-1}\) ,

可知 \(\displaystyle<\frac{a_n}{b_n}>\)亦為等比數列,



然而,若按題意 \(\displaystyle\frac{a_n}{b_n}=\frac{2n+3}{6n+4}\Rightarrow \frac{a_1}{b_1}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},  \frac{a_2}{b_2}=\frac{7}{16},  \frac{a_3}{b_3}=\frac{9}{22}\)

看前三項就發現非等比數列,


可知題目所說的 "兩等比數列,第n項的比為(2n+3) : (6n+4)" 顯然不可能,也就是題目有誤。

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回復 4# weiye 的帖子

了解,謝謝。
請教W大,若此題改為等差數列,怎麼求前30項和的比呢?

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題目若為等差數列,若等差數列 \(<a_n>\) 的公差為 \(d\),可知 \(a_n=a_1+\left(n-1\right)d\) 必為 「\(n\) 的至多一次的多項式」。

因此若 \(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}=\frac{2n+3}{6n+4}\),可令 \(a_n = \left(2n+3\right)t, b_n = \left(6n+4\right)t\),且 \(t\neq0\)。

再求 \(\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_{30} = \frac{30\left(5+63\right)}{2}\cdot t, b_1+b_2+\cdots+b_{30} = \frac{30\left(10+184\right)}{2}\cdot t\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a_1+a_2+\cdots+a_{30} }{b_1+b_2+\cdots+b_{30}}=\frac{\frac{5+63}{2}}{\frac{10+184}{2}}=\frac{34}{97}\)


註:看上面的過程得知,下次可以直接快速一點, 直接以 \(\displaystyle n=\frac{1+30}{2}\) 帶入題目給的 \(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\),即可得兩數列的前 \(30\) 項和之比值。

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回復 6# weiye 的帖子

請教W大  n不是代表項數嗎??  可以代分數嗎??  感恩

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你要看上面過程呀,過程才是重點,看懂過程,自己化簡一下,就知道為什麼可以這樣帶了。

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如果把上面的過程,一般化,



設兩等差數列 \(<a_n>, <b_n>\) 滿足 \(\displaystyle\frac{a_n}{b_n}=\frac{p{\color{red}{n}}+q}{u{\color{red}{n}}+v}, \forall n\in\mathbb{N}\),



可令 \(a_n = \left(p{\color{red}{n}}+q\right)t, b_n=\left(u{\color{red}{n}}+v\right)t\),其中 \(t\neq0\),



則 \(\displaystyle\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n} = \frac{\displaystyle\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}}{\displaystyle\frac{n\left(b_1+b_n\right)}{2}}=\frac{a_1+a_n}{b_1+b_n} = \frac{\displaystyle\frac{\left(p\cdot{\color{red}{1}}+q\right)+\left(p\cdot{\color{red}{n}}+q\right)}{{\color{red}{2}}}}{\displaystyle\frac{\left(u\cdot{\color{red}{1}}+v\right)+\left(u\cdot {\color{red}{n}}+v\right)}{{\color{red}{2}}}} = \frac{\displaystyle p\cdot{\color{red}{\left(\frac{1+n}{2}\right)}}+q}{\displaystyle u\cdot{\color{red}{\left(\frac{1+n}{2}\right)}}+v}\)

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回復 6# weiye 的帖子

感恩

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