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複數平面正方形面積最小值和最大值

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複數平面正方形面積最小值和最大值

在複數平面上,\(z\)、\(z^2\)、\(z^3\)所表的點為某一個正方形的三個頂點,則此種正方形面積的最小值與最大值為何?
請教本題的最小值與最大值,感恩

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題目:在複數平面上,\(z\)、\(z^2\)、\(z^3\) 所表的點為某一正方形的三個頂點,則此種正方形面積的最小值與最大值為何?

解答:

因為 \(z,z^2,z^3\) 在正方形的三個相異的頂點上,

必有一點恰與其餘兩點相鄰,且以此點為中心,將其餘的一點旋轉正或負九十度,可得其餘的另一點。

case 1: \(\displaystyle \frac{z^3-z}{z^2-z}=\pm i\) (分子分母約分一下,再求\(z\))\(\Rightarrow z=-1\pm i\Rightarrow\) 正方形的邊長\(=\left|z^2-z\right|=\sqrt{10}\)

case 2: \(\displaystyle \frac{z^3-z^2}{z-z^2}=\pm i\) (分子分母約分一下,再求\(z\))\(\Rightarrow z=\pm i\Rightarrow\) 正方形的邊長\(= \left|z^2-z\right|=\sqrt{2}\)

case 3: \(\displaystyle \frac{z^2-z^3}{z-z^3}=\pm i\) (分子分母約分一下,再求\(z\))\(\Rightarrow z=\frac{-1\pm i}{2}\Rightarrow\) 正方形的邊長\(\displaystyle= \left|z^3-z^2\right|=\left|z^2 \right|\left|z-1\right|=\sqrt{\frac{5}{8}}\)

因此,正方形的面積只有可能為 \(10,2,\) 或 \(\displaystyle \frac{5}{8}.\)

故,最大值為 \(10\),最小值為  \(\displaystyle \frac{5}{8}.\)

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