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請教3題(平面向量,圓與直線)

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請教3題(平面向量,圓與直線)

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2017-1-30 19:33, 下載次數: 222

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回復 1# thankyou 的帖子

題目: \(\vec{OP}=2\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}, \vec{OQ}=\vec{OA}+2\vec{OB}+\vec{OC}, \vec{OR}=\vec{OA}+\vec{OB}+2\vec{OC}\),\(\left|\vec{CA}\right|=2+\left|\vec{CB}\right|=2\vec{CA}\cdot\vec{CB}=4\),求 \(\triangle PQR\) 面積?

解答:

\(\overline{CA} = 4\),\(\overline{CB} = 2\),\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 2\)

\(\displaystyle \Rightarrow \cos\angle ACB = \frac{1}{4}\),\(\displaystyle \Rightarrow \sin\angle ACB = \frac{\sqrt{15}}{4}\)



\(\vec{OP} = \left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)+\vec{OA}\)

\(\vec{OQ} = \left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)+\vec{OB}\)

\(\vec{OR} = \left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)+\vec{OC}\)

可知 \(\triangle PQR\) 是將 \(\triangle ABC\) 平移 \(\left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)\) 而得,

\(\triangle PQR\) 面積 \(= \triangle ABC\) 面積 \(\displaystyle = \frac{1}{2}\times4\times2\times \frac{\sqrt{15}}{4}=\sqrt{15}\)



另解:

\(\vec{RP} = \vec{OP}-\vec{OR} = \left(2\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\right)-\left(\vec{OA}+\vec{OB}+2\vec{OC}\right)=\vec{OA}-\vec{OC}=\vec{CA}\)

\(\vec{RQ} = \vec{OQ}-\vec{OR} = \left(\vec{OA}+2\vec{OB}+\vec{OC}\right)-\left(\vec{OA}+\vec{OB}+2\vec{OC}\right)=\vec{OB}-\vec{OC}=\vec{CB}\)

\(\triangle PQR\) 面積 \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{RP}\right|^2\left|\vec{RQ}\right|^2-\left(\vec{RP}\cdot\vec{RQ}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{CA}\right|^2\left|\vec{CB}\right|^2-\left(\vec{CA}\cdot\vec{CB}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4^2\times2^2-2^2}=\sqrt{15}\)

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回復 1# thankyou 的帖子

題目:設 \(A\left(-2,5\right), B\left(12,47\right)\),點 \(P\) 在射線 \(AB\) 上,即 \(\vec{AP} = t \vec{AB}\),若線段 \(AP\) 上有 \(15\) 個格子點,且 \(P\left(x_0,y_0\right)\),則 \(x_0\) 的範圍?


解答:

\(\vec{AB} = \left(14, 42\right) = 14\left(1,3\right)\)

可知 \(\overline{AB}\) 恰有 \(15\) 個格子點,且 \(\overline{AB}\) 的兩端點 \(A,B\) 為格子點,


依題述  \(\overline{AP}\) 上有 \(15\) 個格子點,可知

\(\vec{AP} = \vec{AB}+s\left(1,3\right)\),其中 \(0\leq s<1\)

故 \(12\leq x_0<13\)

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回復 1# thankyou 的帖子

題目:設 \(m\) 為實數,若圓 \(x^2+y^2+4x-7y+10=0\) 與直線 \(y=m\left(x+3\right)\) 的兩個交點在不同的象限,滿足此條件的 \(m\) 的最大範圍為 \(a<m<b\),求 \(a,b\) 之值?

解答:

令 \(A\left(-3,0\right), B\left(0,5\right), C\left(0,2\right)\)



畫圖可知此圓通過第一、第二象限,且圓與 \(y\) 軸(\(x=0\))交於 \(B,C\) 兩點,

因直線 \(y=m\left(x+3\right)\) 必過 \(A\),

可知當此直線與圓的交點在兩個不同的象限時,

此直線必介在 直線\(AC\) 與 直線\(AB\)之間,

故, \(\displaystyle\frac{2}{3}<m<\frac{5}{3}\)

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回復 4# weiye 的帖子

謝謝weiye老師的解說,我明白了!

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