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請教一題向量

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請教一題向量

\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=5\),\(\overline{AC}=5\),\(\overline{BC}=8\),\(G\)為重心,\(I\)是內心,\(O\)是外心,若\( \vec{BO}=x \vec{BG}+y \vec{BI} \)求數對\((x,y)\)?
答案:\( \displaystyle (\frac{15}{2},-\frac{13}{2}) \)

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回復 1# thankyou 的帖子

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令 \(M\) 為 \(\overline{BC}\) 的中點,

因為圖形為等腰三角形,易知 \(G,I,O\) 都在 \(AM\) 直線上,且 \(\displaystyle\overline{AG}=\frac{2}{3}\overline{AM}, \overline{AI}=\frac{5}{9}\overline{AM}, \overline{AO}=\frac{25}{18}\overline{AM}\),

得 \(I-G-O\) 之間的距離比為 \(\overline{IG}:\overline{GO}=2:13\),剩下用分點公式就可以了。

註:如果圖形數據改一下,給的不是等腰三角形,可以利用 \(I,G,O\) 各別化成 \(\vec{BA}\) 與 \(\vec{BC}\) 的線性組合,再連結起來,就可得 \(x,y\)。

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回復 3# weiye 的帖子

謝謝weiye老師與eyeready老師的解說,我明白了!

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