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請教一題 微分

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請教一題 微分

f(x)=(x+1)(x+2)....(x+10)/(x-1)(x-2).....(x-10)   find lim(h趨近0) f(-1+h)-f(-1+7h)/h       the answer is -3/55   3q....

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題目: \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\cdots\left(x+10\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\cdots\left(x-10\right)}\),求 \(\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1+7h\right)}{h}=\)______。

解答:

易知 \(f(x)\) 在 \(x=-1\)  處連續,且 \(f\left(-1\right)=0\)

\(\displaystyle f\,'\left(-1\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(-1+h\right)-0}{h}\)

     \(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h\cdot\left(1+h\right)\cdot\left(2+h\right)\cdots\left(9+h\right)}{\left(-2+h\right)\cdot\left(-3+h\right)\cdots\left(-11+h\right)}}{h}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots9}{\left(-2\right)\left(-3\right)\cdots\left(-11\right)}=\frac{1}{110}\)





所求 \(\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1+7h\right)}{h}=\lim_{h\to0} \frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1+7h\right)}{\left(-1+h\right)-\left(-1+7h\right)}\cdot\left(-6\right)=f\,'\left(-1\right)\cdot\left(-6\right)=-\frac{3}{55}\)







<最後這一行可以寫得更清楚一點,就是透過分拆成兩個極限的和去處理,

 即 \(\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1+7h\right)}{h}=\lim_{h\to0} \left(\frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1\right)}{h}-\frac{f\left(-1+7h\right)-f\left(-1\right)}{7h}\cdot7\right)=f\,'\left(-1\right)-7f\,'\left(-1\right)\)

 但是也可以選擇直接想像函數圖形之「(割點是兩動點)割線斜率的極限值,就是取極限後重合之點的切線斜率」,

 即 兩動點 \(\left(-1+h,f\left(-1+h\right)\right)\) 與 \(\left(-1+7h,f\left(-1+7h\right)\right)\)  連線的斜率,當 \(h\to0\) 時,會變成在切點 \(\left(-1,f\left(-1\right)\right)\) 的切線斜率 \(f\,'\left(-1\right)\),

 就不用分拆成兩個極限和去處理了。>

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感謝老師...我有算出-6*f'(-1)  只是我太直執著把f(x)微分....

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套用微分公式:

f(x) = (x+1) * q(x)

f '(x) = q(x) + (x+1) * q '(x)

f '(-1) = q(-1) = 9! / 11! = 1/110

以下如 weiye 老師所說明,所求 = (-6)*(1/110) = -3/55

另,對求式使用 "羅必達法則" 亦可行。

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