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解方程式 2√(x^2-121)+11√(x^2-4)=(7√3)x

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解方程式 2√(x^2-121)+11√(x^2-4)=(7√3)x

題目:設 \(x\in\mathbb{R}\),解 \(2\sqrt{x^2-121}+11\sqrt{x^2-4}=7\sqrt{3}x\)



解答:令 \(a=\sqrt{x^2-121}, b=\sqrt{x^2-4}\)

   則題述為 \(2a+11b=7\sqrt{3}x\)  ……(1)

   利用 \(2^2 a^2 -11^2 b^2 = 2^2\left(x^2-121\right)-11^2 \left(x^2-4\right)=-117x^2\) ……(2)

   由 (2)除以(1)(顯然 \(x\neq0\),所以可以相除),

     可得 \(\displaystyle 2a-11b=-\frac{39\sqrt{3}}{7}x\) ……(3)

   由 (1)&(3) 解聯立方程式,

     可得 \(\displaystyle 2a=\frac{5\sqrt{3}x}{7}\) 且 \(\displaystyle 11b=\frac{44\sqrt{3}}{7}x\)

   \(\Rightarrow \displaystyle 2\sqrt{x^2-121}=\frac{5\sqrt{3}x}{7}\) 且 \(\displaystyle 11\sqrt{x^2-4}=\frac{44\sqrt{3}}{7}x\)

   \(\Rightarrow x^2=196 \Rightarrow x=\pm14\) ,但負不合,因此 \(x=14.\)

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分享一個淺見。

因注意到 121 = 11²,4 = 2²,且未知數的型式與直角三角形有關,故聯想到:

如下圖,以 x ( 顯然 > 0 ) 為直徑作圓,依托勒密定理,題目各元素成為以下構圖:



所求 x 即三邊為 11, 2, 7√3 之三角形之外接圓直徑,由正/餘弦定理易求得 x = 14。




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回復 2# cefepime 的帖子

漂亮的觀點!!!! @@
引用:
原帖由 cefepime 於 2016-2-8 11:30 PM 發表
分享一個淺見。

因注意到 121 = 11²,4 = 2²,且未知數的型式與直角三角形有關,故聯想到:

如下圖,以 x ( 顯然 > 0 ) 為直徑作圓,依托勒密定理,題目各元素成為以下構圖:



所求 x 即 ...

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剛剛看到朋友出的類題剛好拿來試用 cefepime 的方法。

題目: \(2\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-4}=x^2\)

解答:


然後再來一個另解,


再再一個我常用的解法,

另解,
令 a=√(x^2-1), b=√(x^2-4),

由 2a+b=x^2, 4a^2-b^2=3x^2

可得 2a-b=3,

解聯立{2a+b=x^2, 2a-b=3},

得 a=(x^2+3)/4,即 √(x^2-1) = (x^2+3)/4

解得 x^2 = 5,x=±√5

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