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請教兩題數列與級數

請教兩題數列與級數

1.
兩個等差數列,其首 \(n\) 項和的比為 \(\left(7n+1\right):\left(4n+27\right)\),求第一數列之第 \(4\) 項與第二數列之第 \(5\) 項的比?
答案:\(50:63\)

2.
第二題:觀察下表,每一行、每一列中的數字皆形成等差數列,且有無窮多項,則表中 \(717\) 總共出現幾次?
答案: \(28\)
\( \matrix{1&3&5&7&9&…\cr
3&6&9&12&15&…\cr
5&9&13&17&21&…\cr
7&12&17&22&27&…\cr
9&15&21&27&33&…\cr
11&18&25&32&39&…\cr
…&…&…&…&…&…} \)

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第一題:兩個等差數列,其首 \(n\) 項和的比為 \(\left(7n+1\right):\left(4n+27\right)\),求第一數列之第 \(4\) 項與第二數列之第 \(5\) 項的比?答案:\(50:63\)

解答:

可令此兩等差數列前 \(n\) 項和分別為 \(\left(7n^2+n\right)t\) 及 \(\left(4n^2+27n\right)t\)

則此兩數列的第 \(n\) 項\((n\geq2)\)分別為

 \(\left(7n^2+n\right)t-\left(7\left(n-1\right)^2+\left(n-1\right)\right)t=\left(14n-6\right)t\)



 \(\left(4n^2+27n\right)t-\left(4\left(n-1\right)^2+27\left(n-1\right)\right)t=\left(8n+23\right)t\)

所以,第一數列的第 4 項與第二數列的第 5 項的比為 \(\left(14\times4-6\right)t:\left(8\times5+23\right)t=50:63\).

多喝水。

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第二題:觀察下表,每一行、每一列中的數字皆形成等差數列,且有無窮多項,則表中 \(717\) 總共出現幾次?答案: \(28\)

1

3

5

7

9


3

6

9

12

15



5

9

13

17

21



7

12

17

22

27



9

15

21

27

33



11

18

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32

39
















解答:

此表格第 \(a\) 列第 \(b\) 行的位置為 \(\left(1+\left(a-1\right))\cdot2\right)+\left(b-1\right)\cdot\left(a+1\right)=ab+a+b-2\)

依題述,可得 \(ab+a+b-2= 717\Rightarrow (a+1)(b+1)=720 \Rightarrow (a+1)(b+1)=2^4\times3^2\times5\)

\((a,b)\) 共有 \(5\times3\times2-2=28\) 組正整數解。

多喝水。

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回復 3# weiye 的帖子

感謝weiye 老師,我明白了!!

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回復 4# thankyou 的帖子

不好意思,請問如何得知n(7n+1)t及n(4n+27)t各別都要有n倍,謝謝!!

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回復 5# thankyou 的帖子

首 n 項的和是 n 的二次多項式

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回復 6# thepiano 的帖子

感謝thepiano 老師,我明白了!!

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