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97中和高中

本主題由 bugmens 於 2021-8-15 11:03 合併
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97中和高中

設 \([x]\) 表示不大於 \(x\) 的最大整數值。

對任意正整數 \(n\),定義 \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n}\left[\frac{n}{k}\right]\),求 \(\displaystyle S_{2002} - S_{2001}.\)

解答:

因為 \(2002 = 2\cdot 7\cdot 11\cdot 13\),所以 \(2002\) 的正因數有 \(\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=16\) 個。



若 \(k\) 為 \(2002\) 的正因數,則 \(\displaystyle \frac{2002}{k}\) 是整數 \(\Rightarrow \displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]=\left[\frac{2002}{k}-\frac{1}{k}\right]=\left[\frac{2002}{k}\right]-1\),

  \(\displaystyle\Rightarrow \left[\frac{2002}{k}\right]\) 比 \(\displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]\) 恰多 \(1\)。



若 \(1<k<2002\) 且 \(k\) 不為 \(2002\) 的正因數,則

  存在整數 \(q,r\) 使得 \(2002=qk+r\),其中 \(0<r<k\,\Rightarrow\, 0 \leq r-1<k-1\),

  \(\Rightarrow 2001 = qk + (r-1)\)

  \(\Rightarrow \displaystyle\left[\frac{2002}{k}\right]=q=\left[\frac{2001}{k}\right]\),

  \(\displaystyle\Rightarrow \left[\frac{2002}{k}\right]\) 與 \(\displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]\) 相等。



故,\(\displaystyle S_{2002} - S_{2001}=16.\)

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高斯符號\( [x] \)表示小於等於x的最大整數,令\(\displaystyle S_{n}=[\frac{n}{1}]+[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{n}] \)
(1)求\( S_{2002}-S_{2001}= \)
(2)試證\( S_{N}≧2N-1 \)
(91北一女數學科競試)

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97中和高中

請教第2題(感覺要用到tan三倍角?),感謝。

附件

97中和高中.pdf (259.88 KB)

2015-12-25 15:07, 下載次數: 3117

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回復 1# mathca 的帖子

第 2 題
等腰\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=\overline{AC}\),\(D\)在\(\overline{BC}\)上、且\(\overline{AD}⊥\overline{BC}\);\(E\)在\(\overline{AD}\)上、且\(\overline{AE}=20\)、\(\overline{ED}=2\),若\(∠BED=3∠BAD\),則\(\overline{AB}=\)   
[解答]
在△BDE 中, \(\displaystyle \overline{BE}=\frac{2}{\cos 3x}\)
在△ABE 中,由正弦定理,\(\displaystyle \overline{BE}=\frac{10}{\cos x}\)
依此可解出\(\displaystyle \cos x=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
在△ABD 中,\(\displaystyle \overline{AB}=\frac{22}{\cos x}=11\sqrt{5}\)

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回復 2# thepiano 的帖子

請教一下97中和
填6
答案為何是8

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回復 3# nanpolend 的帖子

填 6.
設\([x]\)為表示小於或等於\(x\)的最大整數,令\(\displaystyle b_n=\Bigg[\;\frac{n}{1} \Bigg]\;+\Bigg[\;\frac{n}{2} \Bigg]\;+\Bigg[\;\frac{n}{3} \Bigg]\;+\ldots+\Bigg[\;\frac{n}{n} \Bigg]\;\),則\(b_{2008}-b_{2007}=\)   
[解答]
若 \( x,k\in\mathbb{N} \) 且 \( k\mid x \)

則 \( x-k\leq x-1<x \Rightarrow\frac{x}{k}-1\leq\frac{x-1}{k}<\frac{x}{k} \Rightarrow[\frac{x-1}{k}]=[\frac{x}{k}]-1 \)。

若 \( x,k\in\mathbb{N} \) 且 \( k\not \mid x \),則可以得到 \( [\frac{x-1}{k}]=[\frac{x}{k}] \)

而 \( 2008 = 2^3 \times 251\),故 2008 共有 8 個正因數。

\( b_{2008} - b_{2007} \) 的式子中,把分母相同的兩項依以上規則計算可得 \( b_{2008} - b_{2007} = 8\)
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 1# mathca 的帖子

請教計算證明題2.
黎曼和湊不出來

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回復 5# nanpolend 的帖子

計算證明2
試問\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{k(k+2)}\right)=\)   
[解答]

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回復 6# Lopez 的帖子

感謝回復

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