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102高中數學能力競賽

本主題由 bugmens 於 2017-8-23 06:06 提升
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謝謝兩位老師的協助。

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102 學年度台灣省北三區高級中學數理及資訊學科能力競賽

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回復 1# jp6ej04xjp6 的帖子

很久以前做過,忘得差不多了,第 7 題

考慮 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:a,b,c,d,e \) 為滿足題意的一組數列,不失一般性假設 \( a+b\leq d+e \)。

則有另一組數列 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:e,d,c,d,e \) 滿足題意,且其總和大於或等於上面給的數列。

令 \( f=\max\{c,e\} \),則 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:f,d,f,d,f \) 滿足題意,且其總和大於或等於上面給的數列。

因此對任何一個滿足題意的數列 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:a,b,c,d,e \),我們都能找到另一個滿足題意的數列 \( \left\langle a_{n}\right\rangle _{n=1}^{5}:f,d,f,d,f \),使得 \( a+b+c+d+e\leq3f+2d \)。

又 \( f^{2}+d^{2}\leq1 \),由柯西不等式可得 \( a+b+c+d+e\leq3f+2d\leq\sqrt{13} \),當 \( a=c=e=f=\frac{3}{\sqrt{13}}, b=d=\frac{2}{\sqrt{13}} \),數列的總和達最大值 \( \sqrt{13} \) 。
文不成,武不就

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回復 2# tsusy 的帖子

解得好,若改成共有 2k+1 項呢.........
設a1+a2,a3+a4,.....,a(2k-1)+a(2k)中最大值為a(2t-1)+a(2t),
設a(2t-1)=a,a(2t)=b,a(2k+1)=c,原數列總和為S
則新數列a,b,a,b,a,b.........a,b,c,滿足題意且其和T>=S,設d=max{a,c}
則新數列d,b,d,b,d,b.........d,b,d,滿足題意且其和U=(k+1)d+kb>=T
(d^2+b^2)[(k+1)^2+k^2]>=U^2欲使S最大則d^2+b^2=1,d/(k+1)=b/k
所以S最大值為ㄏ[(k+1)^2+k^2]

又若改成任三個相鄰項平方和小於或等於1呢(項數分3k,3k+1,3k+2,討論)?

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-8-17 10:41 編輯 ]

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第 5 題

所求區域可以分割為 5 個全等的 "鯊魚鰭形"。

鯊魚鰭形 = 108°扇形 - "帳篷形" = 108°扇形 - (60°扇形*2 -  √3 /4) = √3 /4 - π/30

所求 = 5√3 /4 - π/6

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接樓上

灰色面積=正五邊形面積-樓上面積
               =1/2*1*(cot36度/2)*5-樓上面積
    cos36度=(ㄏ5+1)/4
=>cot36度=(ㄏ5+1)/(ㄏ(10-2ㄏ5)=2^(-3/2)*5^(-1/4)*(ㄏ5+1)^(3/2)
灰色面積=2^(-7/2)*5^(3/4)*(ㄏ5+1)^(3/2)-樓上面積=0.0790126667......
即邊長1的正五邊形中到各頂點距離均小於或等於1的點所形成的區域面積為
pi/6-5/4*(ㄏ3-cot36度)約0.079
又邊長1的正方形中到各頂點距離均小於或等於1的點所形成的區域面積為
(1+1-2*1*1*cos30度)+4*[1/2*1*1*(pi/6-sin30度)](正方形+四個弓形)
或1-4*[pi/4-(pi/6*2-ㄏ3/4)] (此為樓上作法)=1+pi/3-ㄏ3約0.315
但邊長1的正立方體中到各頂點距離均小於或等於1的點所形成的區域體積為何?
有高手可以解答嗎?

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-8-17 15:07 編輯 ]

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3.

令x=(ㄏ10)cosAcosB,y=(ㄏ10)cosAsinB,z=(ㄏ5)sinA
原式=(ㄏ5)cosA*(ㄏ(sin2B))+3(ㄏ5)sinA
當B=45度,cosA/1=sinA/3,  x=y=1/ㄏ2 ,z=3/ㄏ2 時有最大值5ㄏ2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-8-17 22:11 編輯 ]

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回復 6# laylay 的帖子

第 3 題

類似的問題以前有各路好手解過,請參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2028&extra=&page=1

再試一個較繁複的另解,也藉此機會練習一下 "待定係數" 的手法。


# 已知正數 x,y,z 滿足 x² + y² + 2z² = 10,則 √xy + 3z 的最大值為?


想法: 利用算幾不等式,由 x² + y² 製造 √xy,而用 2z² 製造 3z。為了讓兩部分相容,引入待定係數 a > 0。

(x² + y² + a² + a²) /4 ≥ a√xy ...(1)

(z² + 9a²) /2 ≥ 3az ...(2)

(1) + (2)

(5 + 10a²) /2a ≥ √xy + 3z

取等條件: x² = y² = a²,z² = 9a² ⇒ a² = 1/2

所求 = 5√2

-------------------------------------

當然,也可變通如下 (先不受限於 x² + y² + 2z² 的值,之後再縮放):

(x² + y² + 1 + 1) /4 ≥ √xy ...(1)

(z² + 9) /2 ≥ 3z ...(2)

取等條件: x² = y² = 1,z² = 9 ⇒ x² + y² + 2z² = 20 ⇒ 最後再除以√2

(1) + (2)

10 ≥ √xy + 3z

所求 = 10/√2 = 5√2


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