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[請教]證明 x/(2x+y)+y/(x+2y) <= c <= x/(x+2y)+y/(2x+y)

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[請教]證明 x/(2x+y)+y/(x+2y) <= c <= x/(x+2y)+y/(2x+y)

[證明]對任意正實數x,y,存在常數c使得不等式 x/(2x+y)+y/(x+2y) <= c <=  x/(x+2y)+y/(2x+y)

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回復 1# Lingling02 的帖子

用相減法證明以下式子,再加上實數稠密性即可
\(\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{2x+y}\ge \frac{x}{2x+y}+\frac{y}{x+2y}\)

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[證明] 對任意正實數 x, y,存在常數 c,使得不等式 x/(2x+y) + y/(x+2y) ≤ c ≤  x/(x+2y) + y/(2x+y) 成立。


( 題意可能還要求 c 的值,只要令 x = y 即知 c = 2/3 )

因對稱性,可不失一般性地令 x ≤ y,則 1/(x+2y) ≤ 1/(2x+y)

由排序不等式,可得 x/(2x+y) + y/(x+2y) ≤ x/(x+2y) + y/(2x+y) ... (*)

令 (*) 之左式 = p,右式 = q,由 p ≤ q, 有

3p ≤ 2p+ q ≤ 3q

故 3p ≤ 2 ≤ 3q

即  p ≤ 2/3 ≤ q

故 x/(2x+y) + y/(x+2y) ≤ 2/3 ≤ x/(x+2y) + y/(2x+y)

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