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無理數有稠密性嗎

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無理數有稠密性嗎

只有有理數有稠密性嗎.無理數有嗎

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對任意兩相異無理數 a, b (不失一般性,可假設 a < b)

求證:在 a ,b 之間必存在有另一無理數

證明:

因為 b-a>0 ,由阿基米德性質,必存在正整數 k 使得 k(b-a)>1  

(上面那句就是說,也就是不管多小的正數 (b-a) ,累加 k 次之後,一定可以變的比 1 單位長來得大。

阿基米德性質,簡而言之,就是任何一個正實數經過有限次自己加自己之後,可以超過任何其他一個實數。)

兩邊同除 k ,可得 b-a > 1/k > 0

兩邊同時加上 a ,可得 b > a+ 1/k > a

故 a+ 1/k 在 a ,b 之間,且為無理數。得證。

(Note: 無理數+有理數 = 無理數,可以經由矛盾証法証得。

簡單證明一下:

如果 "無理數a + 有理數1/k = 有理數c",經由兩邊同減 1/k ,

可得 "無理數a= 有理數c- 有理數1/k=有理數相減還是有理數" ,故矛盾。)

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