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正焦弦為最短焦弦

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正焦弦為最短焦弦

想請益這上面寫的第四個步驟PQ=2MF^2/HF
是怎麼推出來的?

話說我有另一個想法是既然已經知道角PMQ=90
可否由畢氏定理搭配算幾不等式說明當PM=QM的時候PQ即有最小值呢
似乎較簡易
以上詢問謝謝

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2015-6-23 10:51

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可以參考圖片手法(寸絲筆記的內容)
承(3),拆解\( \overline{MF}^2=\overline{PF} \times \overline{QF} ,\;\;\; \overline{PQ}=\overline{PF}+\overline{QF}  \)  
至於如果欲證明拋物線焦弦中,正焦弦長為最短焦弦,是可以直接用解析幾何架坐標方式,設定 \( y=mx+c \) ,再結合根與係數,得出  \( m=0 \)  時,焦弦最短
以上拙見,僅供參考

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2015-6-24 09:59 AM 編輯 ]

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2015-6-24 09:52

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回復 2# 瓜農自足 的帖子

#2 樓圖中 \( \overline{EF} = \frac{2mn}{m+n} \) 即 #1 樓中的 \( \overline{HF} \)

#1 樓 ③ 的等比 \( \Rightarrow \overline{MF}^2 = \overline{PF} \times \overline{QF} \)

用 \( m,n \) 表示則為 \( \overline{MF}^2 = mn \)

故 \( \frac{2\overline{MF}^2}{\overline{HF}} = \displaystyle \frac{2mn}{\frac{2mn}{m+n}} = m+n = \overline{PQ} \)

另證. 對 \( m,n \) 及 \( \frac1m, \frac1n \) 分別使用算幾不等式可得

\( \frac{m+n}{2} \geq \sqrt{mn} \geq \frac{2}{\frac1m + \frac 1n} \)

由 #2 圖中結果得 \( \frac{m+n}{2} \geq \frac{2}{\frac2p} = p \), 故焦弦長 \( m+n \geq 2p = \) 正焦弦長
文不成,武不就

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回復 1# leo790124 的帖子

請教3, 等比數列如何證明
謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2015-6-25 06:13 PM 編輯 ]

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回復 4# arend 的帖子

\(\begin{align}
  & \Delta FMP\sim \Delta FQM \\
& \frac{\overline{FM}}{\overline{PF}}=\frac{\overline{QF}}{\overline{FM}} \\
& {{\overline{FM}}^{2}}=\overline{PF}\times \overline{QF}=\overline{PR}\times \overline{QS} \\
\end{align}\)

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回復 5# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴師

敢問前面1,2是否用四點共圓處理? 謝謝

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回復 6# arend 的帖子

用全等 (RHS) 處理

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