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等腰三角與共線

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等腰三角與共線


ㄥFAB=ㄥFBA=ㄥEAC=ㄥECA=a,

ㄥXEF=XFE=b, ㄥTBC=ㄥTCB=a+b

證明: A, X, T 共線
這題想很久了...希望各位老師幫我忙,感激不盡!!!

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有老師知道什麼是幾何轉換中的:位似、旋似嗎?

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雖然想不出樓主所期待的純幾何解法,姑且提出冗長的拙見以拋磚引玉,若有錯誤敬請指正。


明顯地,若 X 與 A 重合,命題成立。以下只考慮 X 與 A 相異的情形。

構想: 把圖形放在極坐標(複數坐標)上。以 A 為原點,表出 X 與 T 的(複數)值。若能證明: T/X 是實數,則 A, X, T 共線 (充要條件)。

先複習複數乘除法: Z2 = Z1*(|Z2|/|Z1|)*(cosθ + i sinθ),θ 是輻角差。理解為: Z1 經過伸縮 |Z2|/|Z1|,再旋轉 θ,到達 Z2 的位置。

現在把圖形放在複數坐標上,圖形各點各自代表一複數(以"="表示)。不失一般性,令 A=0,B=2,C=2Z。

再令 Za = cos a + i sin a, Zb = cos b + i sin b,1/Za = cos a - i sin aZa*Zb = cos(a+b) + i sin(a+b)



T = 2 + (Z-1)*sec(a+b)*Za*Zb (先平移原點至 B,由 BC 中點出發,得到 T 的位置,再移回原點至 A; 以下其它點的取值法類似。)

F = (sec a) / Za (順時針)

E = Z*(sec a)*Za

X = (sec a) / Za + (1/2)*[ Z*Za - 1/Za ]*(sec a)*(sec b)*Zb

以下想證明 T/X 是實數。由於 Z 的任意性,猜想這個實數就是 Z 的係數比值: sec(a+b) / [(1/2)*(sec a)*(sec b)]。

基於這個觀察,為了簡化計算,分別自 T 與 X 中提出實數 sec(a+b) 與 (1/2)*(sec a)*(sec b):

T' = 2cos(a+b) + (Z-1)*Za*Zb

X' = 2(cos b) / Za + (Z*Za - 1/Za)*Zb

以下只要證明 T' = X' 就大功告成了。

由於 T' 與 X' 含有"Z"的項係數相等,所以只要比較不含"Z"的部分。

[註: Za = cos a + i sin a, Zb = cos b + i sin b,1/Za = cos a - i sin a, Za*Zb = cos(a+b) + i sin(a+b)]

實部 (T' 不含 Z 項) = cos(a+b) = (cos a)*(cos b) - (sin a)*(sin b) = 實部 (X' 不含 Z 項)

虛部 (T' 不含 Z 項) = -(sin a)*(cos b) - (cos a)*(sin b) = 虛部 (X' 不含 Z 項)


證畢。


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冗長的拙見真是太神拉!!!
謝謝cefepime老師!!

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純幾做法:
做點G與點H使:角GAB=角GBA=角HAC=角HCA=A+B,易知AGTH為平行四邊形。
在GA、HA上分別做I、J,使角IFA=角IAF=角IAE=角IEA=B,同理AIJX為平行四邊形。
且因AI:AJ=AB:AC=AG:AH,因此AGTH、AIJX為位似圖形,且位似中心為A
因此AXT三點共線。

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謝謝樓主提供這個精彩的(也超越我背景知識的)解法!

提供個關於"三點共線的常用證明方法"連結與樓主分享。

http://baike.baidu.com/view/1042024.htm
(可再加上: 線段長 AB + BC = AC,笛沙格定理,與上述的複數坐標三法)

[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-5-1 12:41 AM 編輯 ]

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