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請教正8面體的內切圓半徑

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請教正8面體的內切圓半徑

如題:
設稜長為a,如
如何求出r=a/sqrt(6)
謝謝

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回復 1# arend 的帖子

參考林信安老師的圖,在第 8 頁的例題 2,其中內切球的半徑是 OG,而 G 是正△ADE 的重心
http://www.google.com.tw/url?sa= ... amp;bvm=bv.87519884,d.dGY

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回復 2# thepiano 的帖子

謝謝 鋼琴師
為何 G 是正△ADE 的重心?
謝謝

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回復 3# arend 的帖子

從正六面體(正方體)與其內切球來看是"重心",正八面體應該也是
不然就定 O(0,0,0),D(1,-1,0),E(1,1,0),A(0,0,√2) 去找切點

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回復 4# thepiano 的帖子

既然動了坐標,何不使用點到平面距離公式呢?
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 5# tsusy 的帖子

那到後面就會用到了

寸絲兄,有不用坐標的說法嗎?

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回復 6# thepiano 的帖子

從對稱性的觀點來看,球心只能在正八面體的中心點,切點只能在八個正三角形面的中心(重心)

或者先接受球心只能在正八面體的中心點,令其為 O。 \( \triangle ABC \) 為正八面體的一面,M 為 \( \overline{BC} \) 中點,P 為球和 \( \triangle ABC \) 的切點。

則有 \( \overline{OP}\perp ABC \) 和 \( \overline{OM} \perp \overline{BC} \),由三垂線定理有 \( \overline{PM}\perp\overline{BC} \),故 \( \overleftrightarrow{PM} \) 為 \( \overline{BC} \) 中垂線(亦為中線),同理可得 \( P \) 在三中線上。

半徑的計算則可由直角 \( \triangle AOM \) 的面積 \( \frac12 \overline{AO}\times\overline{OM} = \frac12 \overline{AM} \times \overline{OP} \),其中 \( \overline{OP} \) 為內切球半徑。

各長度以正八面體之邊長表示則得 \( \frac12 \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{2} = \frac12 \frac{\sqrt{3}a}{2} \cdot r \) \( \Rightarrow r = \frac{a}{\sqrt{6}} \)
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回復 7# tsusy 的帖子

謝謝tsusy老師的解釋

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