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88北一女高23競試

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88北一女高23競試

可以請教一下   問題一的第4題如何解嗎?

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88北一女高二學競試試題.pdf (15.07 KB)

2014-12-13 21:37, 下載次數: 1322

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回復 1# qaz 的帖子


\(\begin{align}
  & f\left( a \right)=\left( a-1 \right)\left( a-9 \right)\left( a-25 \right)\left( a-49 \right) \\
& -{{x}^{2}}\left( a-9 \right)\left( a-25 \right)\left( a-49 \right)-{{y}^{2}}\left( a-1 \right)\left( a-25 \right)\left( a-49 \right) \\
& -{{z}^{2}}\left( a-1 \right)\left( a-9 \right)\left( a-49 \right)-{{w}^{2}}\left( a-1 \right)\left( a-9 \right)\left( a-25 \right) \\
\end{align}\)

\(f\left( a \right)=0\)的四根為4,16,36,64
由根與係數
\(\begin{align}
  & 1+9+25+49+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{w}^{2}}=4+16+36+64 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{w}^{2}}=36 \\
\end{align}\)

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謝謝thepiano老師.   
原來要用根與係數解啊.
不過原樣挺嚇人的.

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請教一下第三題 求最大角
算出三個角 tangent  的平方和與相乘的值
接下來就沒頭緒了

謝謝

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再算出兩兩相乘,利用根與係數寫出三次方程式,解方程可知答案是 135 度

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試解第3題:


利用:


△ABC中,tanA + tanB + tanC = tanA*tanB*tanC (由和角公式)


乘法公式: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)³ - 3(a+b+c)(ab+bc+ca)


因此:


tanA + tanB + tanC = tanA*tanB*tanC = -1/6


tanA*tanB + tanB*tanC + tanC*tanA = [(-181/216) + (1/2) + (1/216)] *2 = -2/3  


即 tanA, tanB, tanC 是下列方程式之三根:


6x³ + x² - 4x +1 = 0


x = -1 為鈍角,即所求 = 3π/4


-------------------------------------------


作為填充題,本題給了學生取巧的空間: 因答案極可能是特殊角,而 -1 由於計算方便,往往被第一個嘗試,即得答案。


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謝謝
我昨日是用和角與差角去想,就卡住了

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關於[問題六] (最後一題),個人有個疑問,想請教各位的意見。


我的想法如下:


題目欲證 P,Q,R 三點共線,即證: ∠PQR = 180°


基於經驗,這種"以邊作正三角形"的題目,往往可以與"旋轉60°"聯想。


△CDA 中,以 C 點為固定點,逆時針旋轉60°,則成 △CQP,因此 ∠CDA = ∠CQP (逕用 △CDA 全等於 △CQP 亦可)


△DCB 中,以 D 點為固定點,順時針旋轉60°,則成 △DQR,因此 ∠DCB = ∠DQR


∠PQR = (∠CQP + ∠DQR) - ∠CQD = (∠CDA + ∠DCB) - ∠CQD = (360° - 120°) - 60° = 180°,得證。


(若 ABCD 是凹四邊形,用同法亦得相同結果)


-----------------------------------------------------------------


我的疑問如下:


上述方法,完全沒有用到 AD = BC 這個條件。經驗上一個設計良好的題目,不會有多餘的條件,所以不禁懷疑是否上面的方法有不嚴謹處。


請各位賜教,謝謝!



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回復 8# cefepime 的帖子

要證明 P、Q、R 共線,的確用不到 AD = BC 這個條件
它是要證明 △AQB 是正三角形才會用到

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引用:
原帖由 thepiano 於 2014-12-18 08:06 AM 發表
要證明 P、Q、R 共線,的確用不到 AD = BC 這個條件
它是要證明 △AQB 是正三角形才會用到



原來如此,謝謝鋼琴老師的指導!




另外對於[問題五],個人認為可以推廣如下:


若 n∈N,則 √n - √(n-1)  的每個正整數冪都是形如 √m - √(m-1),其中 m 是某個正整數。






[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-12-18 09:35 PM 編輯 ]

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