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請教幾題高中數學(空間坐標與平面方程式)

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請教幾題高中數學(空間坐標與平面方程式)

(1) 空間中有五個平面 E1:x–2y +6 = 0, E2:7x–2y –18 = 0, E3:x+y = 0,
E4:z = –2, E5:z = 2,若一個五面體的各面分別在 E1, E2, E3, E4, E5 等五個平面
上,求此五面體的體積。
(2) 若平面 E 與三坐標軸的截距分別為 a,b,c 且 abc ≠ 0,若 d 為原點到平面 E 的距
離,試證: 1/d^2=(1/a^2 )+(1/b^2)+(1/c^2)


如右圖,四面體 ABCD 中,∠BAC、∠CAD、∠BAD 都是直角。若用 SABC 表
示ΔABC 的面積,試證明:直四面體的畢氏定理:SBCD^2=SABC^2+SACD^2+SABD^2。

出處:林信安老師的講義

勞煩各位老師幫忙解答

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回復 1# studentJ 的帖子

直角四面體的畢氏定理證明
可參考
http://www.google.com.tw/url?sa= ... amp;bvm=bv.80642063,d.dGc

(2)
設截點分別為 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)
則由空間中兩向量所張之平行四面形面積,可求出
\(\Delta ABC=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}\)
四面體\(OABC=\Delta ABC\times d\times \frac{1}{3}\)
\(\begin{align}
  & \frac{1}{6}abc=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}\times d\times \frac{1}{3} \\
& {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{d}^{2}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}} \right) \\
& \frac{1}{{{d}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \\
\end{align}\)

(1)
E1、E2、E4 三平面的交點為 A(4,5,-2)
E2、E3、E4 三平面的交點為 B(2,-2,-2)
E3、E1、E4 三平面的交點為 C(-2,2,-2)

該五面體是一個三角柱,底面為 △ABC,高為 E4 和 E5 的距離

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-12-2 01:23 PM 編輯 ]

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謝謝鋼琴老師,小弟先慢慢研究!

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