2000ARML

第一階段試題
8.
整數\(2^{70}+3^{70}\)的最小(正)質因數為　　　。
質因數不知道怎麼解比較快雖然我也解出來

第二階段試題
8.
若\(A=\{\; (a_1,a_2,a_3)|\; a_1,a_2,a_3為正整數且 a_1 |\;a_2,a_2 |\;a_3,a_3 |\;200 \}\; \)，則集合\(A\)的元素個數為　　　。
我算200答案是188我是用H組合做的

第 1 題
13

第 2 題
200

第2題我沒錯囉??那他答案錯，那請問一下第一題您怎麼做的，我只是慢慢代質因數，請教一下比較快的方法??

個人的想法:
因為\(x^n+y^n\)只有在\(n\)為奇數時才能分解成\( (x+y)(x^{n-1}+\ldots+y^{n-1})\)
所以把它改成\(4^{35}+9^{35}\)，可知有13這個因數。
但不知如何說明是最小。

\(\begin{align}
  & {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 2 \right) \\
&  \\
& {{2}^{70}}\equiv {{\left( -1 \right)}^{70}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 3 \right) \\
& {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 3 \right) \\
&  \\
& {{2}^{70}}={{4}^{35}}\equiv {{\left( -1 \right)}^{35}}\equiv -1\ \left( \bmod \ 5 \right) \\
& {{3}^{70}}={{9}^{35}}\equiv {{\left( -1 \right)}^{35}}\equiv -1\ \left( \bmod \ 5 \right) \\
& {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv -2\equiv 3\ \left( \bmod \ 5 \right) \\
&  \\
& {{2}^{70}}={{8}^{23}}\times 2\equiv {{1}^{23}}\times 2\equiv 2\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{3}^{70}}={{27}^{23}}\times 3\equiv {{\left( -1 \right)}^{23}}\times 3\equiv -3\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv -1\equiv 6\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
&  \\
& {{2}^{70}}={{32}^{14}}\equiv {{\left( -1 \right)}^{14}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 11 \right) \\
& {{3}^{70}}={{243}^{14}}\equiv {{1}^{14}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 11 \right) \\
& {{2}^{70}}+{{3}^{70}}\equiv 2\ \left( \bmod \ 11 \right) \\
\end{align}\)

請教第二題怎麼做!

\(200={{2}^{3}}\times {{5}^{2}}\)
因\({{a}_{1}}|{{a}_{2}},{{a}_{2}}|{{a}_{3}},{{a}_{3}}|200\)
令\({{a}_{1}}={{2}^{x}}\times {{5}^{p}},{{a}_{2}}={{2}^{y}}\times {{5}^{q}},{{a}_{3}}={{2}^{z}}\times {{5}^{r}}\)
其中\(\begin{align}
  & 0\le x\le y\le z\le 3 \\
& 0\le p\le q\le r\le 2 \\
\end{align}\)
所求\(=H\left( 4,3 \right)\times H\left( 3,3 \right)=200\)