整除問題

bch0722b

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1^# 大中小發表於 2014-11-26 23:04 只看該作者

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整除問題

\( \displaystyle a^2+ab+\frac{b^2}{ab-1}\)為正整數\(k\)
且\(a\)、\(b\)為正整數。
求\(k=\)?
答案是:4、7

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cefepime

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2^# 大中小發表於 2014-11-29 19:25 只看該作者

看到題目時，聯想到這題:
https://math.pro/db/thread-1955-1-2.html
依照 http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping 的方法，試著"東施效顰"一下:

1. 若 a = b，則 k = 4

2. 若 a ≠ b，不失一般性令 a > b:

2-1 當 b = 1 或 2，則 k = 4 或 7，不贅。

2-2 當 b ≥ 3，k = (a² + ab + b²) / (ab - 1) < (2a² + ab) / (ab - 1) ≤ a (因 2a + b ≤ ab - 1)......(#)

原式 (a² + ab + b²) / (ab - 1) = k 重新整理得:

a² - b(k - 1) a + (b² + k) = 0

亦即 a 是方程式 x² - b(k - 1) x + (b² + k) = 0 之一根，設另一根為 γ，則

γ = b(k - 1) - a = (b² + k) / a

由這兩個 "=" 分別可知 γ 是整數與 γ > 0，即 γ 是正整數; 且

γ = (b² + k) / a < (b² + a) / a (依據 #) < b + 1

即 a > b ≥ γ

2-2.1 若 b = γ ，則得上文 1. 之情形

2-2.2 若 b > γ ≥ 3，以下用 ( b , γ ) 代替 ( a , b ) 重複 2-2 之過程，以下類推，直到兩根相等(上文 1. 之情形)，或較小根 = 1 或 2 (上文 2-1 之情形) 為止。由於過程中 k 值保持不變，故得 k = 4 或 7。

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l421013

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3^# 大中小發表於 2017-8-19 11:50 只看該作者

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