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101年高中數學競賽

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101年高中數學競賽

新竹高中筆試二
試著找出規律性但仍卡住!!

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文件1.pdf (43.98 KB)

2014-11-9 23:40, 下載次數: 1260

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第2題
參考一下

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20141110.pdf (252.35 KB)

2014-11-10 09:09, 下載次數: 1233

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前面的方法有試過,也曾試著用公式解解出整數,但因為數太大放棄了!只是不知道後面是不是需要一個一個檢驗,因為數還蠻多的,還是說只能這樣一個一個代?

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回復 3# cally0119 的帖子

雖然 b 代入後有 16 個式子,但由於 a 是整數,所以稍微看一下,很快就可知道只有 2 個式子能因式分解

要更快的話,就等高手囉

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回復 1# cally0119 的帖子

第 1 題
第 i 行第 j 列的數是 (2i + 1) + (j - 1)(i + 1) = ij + i + j - 2
ij + i + j - 2 = 2012
(i + 1)(j + 1) = 2015
2015 = 5 * 13 * 31 有 8 個正因數,扣掉 1 和 2015
故 2012 出現 6 次

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-11-10 10:43 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 cally0119 於 2014-11-10 10:03 AM 發表
前面的方法有試過,也曾試著用公式解解出整數,但因為數太大放棄了!只是不知道後面是不是需要一個一個檢驗,因為數還蠻多的,還是說只能這樣一個一個代? ...
借一下鋼琴兄一開始的假設
a=(x+y)/2 ,b=(xy)^0.5 , 2xy/(x+y)=b^2/a
令a=hd,b=kd 其中(h,k)=1 ,h,k,d為正整數 (h>k)
又b^2/a =k^2*d/h 為正整數,可知h|d
因此令d=ht ,其中t為正整數,則a=h^2*t ,b=hkt
所以a+b+b^2/a=h^2*t+hkt+k^2*t=t(h^2+hk+k^2)=49
t=1或7(49不合)
(1)當t=1,h^2+hk+k^2=49---------(*1)
49>3*k^2 ,k=4,3,2,1代入(*1)檢驗
只有k=3 ,h=5的解
此時a=5^2*1=25 ,b=5*3*1=15
(2)當t=7,h^2+hk+k^2=7---------(*2)
7>3*k^2 ,k=1代入(*2) 得h=2的解
此時a=2^2*7=28 ,b=2*1*7=14
剩下x解就自己算囉~

(前面開始處理比較費功,但後面只需檢驗五組方程式即可)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-10 06:11 PM 編輯 ]

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感謝兩位老師的精解,試另解第2題。


令 a = (x+y)/2,b = √xy,c = 2xy/(x+y),則 a,b,c 分別代表 x,y 的算數平均,幾何平均,調和平均,故 a ≥ b ≥ c。
因此,49 > a ≥ 17,c ≤ 16。
又 ac = b²,即 ac 為完全平方數。


注意因 49 僅含 "7" 這個質因數,因此:

1. a 與 c 不會含有共同的"非7質因數" (否則 a+b+c 亦含之,矛盾); 進而:

2. a 與 c 若含有某"非7質因數",其冪次必是偶數。



以上兩點可以簡化之後的討論過程。


以下就 a 是否含有 "7" 這個因數,配合以上兩點結論與"49 > a ≥ 17,c ≤ 16" 討論:


A. 若 a 含有 "7",則 a = 28 (範圍內的唯一可能),c = 7 (合),x = 28+14√3

B. 若 a 不含 "7",則 a 的質因數只能往下找:

  B-1: a = 5²,c = 3² (合),x = 45


  B-2: a 僅含 2 或 3 ,都不能使 49 > a ≥ 17; 又若 a 含 2 和 3,則 c = 1 或至少 5²,不合。




綜上,x = 28+14√3 或 45





[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-11-11 02:19 PM 編輯 ]

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