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拋物線與軌跡方程

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拋物線與軌跡方程

設A,B在拋物線y^2=8x上,O為原點,且OA垂直OB,則O在直線AB上之投影P之軌跡方程為何?

答案為x^2+y^2=8x
令我想不透~~

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-8-15 09:15 PM 編輯 ]

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回復 1# tsyr 的帖子

令\(A\left( 2{{a}^{2}},4a \right),B\left( 2{{b}^{2}},4b \right)\)
\(\begin{align}
  & \frac{4a}{2{{a}^{2}}}\times \frac{4b}{2{{b}^{2}}}=-1 \\
& ab=-4 \\
\end{align}\)

直線AB之方程式為\(y-4a=\frac{4a-4b}{2{{a}^{2}}-2{{b}^{2}}}\left( x-2{{a}^{2}} \right)\quad \Rightarrow \quad 2x-\left( a+b \right)y-16=0\)

直線OP之方程式為\(y=\left( -\frac{a+b}{2} \right)x\)
\(-\left( a+b \right)=\frac{2y}{x}\)代入\(2x-(a+b)y-16=0\)
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8x\quad \left( x\ne 0 \right)\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-8-16 10:12 AM 編輯 ]

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謝謝鋼琴老師提供新的想法
這題本來是在高中數學101看到的
書裡是用"定點問題"來解釋
但我覺得考試時如果忘記這個公式或是沒有看過就完蛋了
一定還有一般解
但是利用直線方程式求解又麻煩許多~~
不過鋼琴老師的算式一目瞭然,又不至於太過繁瑣
在考場中較為實用

註:定點問題的結論
若P(a,b)為拋物線y^2=4cx上一定點,過P作拋物線之兩垂直弦PB,PC,則直線BC必過點Q(a+4c,-b)
此題"投影部分"用向量內積=0就可以了

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