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拉馬努金的無窮根號問題

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印度來的奇蹟
http://scimonth.blogspot.tw/2010/09/blog-post_23.html
作者/游森棚

  這個月數學界的焦點會在印度,因為四年一度的國際數學家大會(International Congress of Mathematicians, ICM)今年(2010 年)8 月將在印度舉行。

  內行人看門道,外行人看熱鬧。數學的深刻和嚴肅面離一般人太遠,所以大多數人最期待的是四年一次在國際數學家大會頒發,號稱數學界諾貝爾獎的費爾茲獎會落在誰身上。網路上有很多的猜測,我當然也有猜測,但這期雜誌印出來時,應該已經公布名單了,所以猜測就留在心裡了。但談到印度,又談到數學,數學家拉瑪努金(Srinivasa Aiyangar Ramanujan)的故事立刻浮上心頭。這個已故數學家的軼事多采多姿,天分極為不凡,生命軌跡獨一無二,因此這個月的專欄,藉由ICM 在印度舉辦的聯想,我們就來一窺拉瑪努金奇蹟式的數學人生。

  拉瑪努金只上過非常短時間的大學(大一因為英文不好,沒拿到獎學金而輟學),可以說沒有受過專業數學訓練。他所有的數學知識,來自於他15歲在圖書館借到的一本數學公式集《純數學摘要》(Synopsis of Pure Mathematics)。這本書上條列了數千個公式與定理,想也知道一本書有數千個公式,一定是不講原因,沒有證明的。但拉瑪努金用自己的方法理解了這本書,而也因為啟蒙書是這樣的風格,拉瑪努金接下來憑著極高的天分,單獨發現了許多定理,寫下來後也都是這樣的風格:一條又一條令人炫目的結果,而且只有結果,沒有理由。

  所以,也無怪乎英國數學家哈第(G. H.Hardy)在1913年接到拉瑪努金一封九頁長的信後,目瞪口呆的反應。在那封信上,拉瑪努金寫滿了他發現的「定理」——都只有結果,沒有理由,沒有證明。其中一個是這樣(為了容易說明,此處挑選不需要特別解釋符號的一個):\( \displaystyle 1-5\left( \frac{1}{2} \right)^3+9 \left( \frac{1 \times 3}{2 \times 4} \right)^3-13 \left( \frac{1 \times 3 \times 5}{2 \times 4 \times 6} \right)^3+\ldots=\frac{2}{\pi} \)
這種無厘頭的式子寫滿了一頁又一頁,那時候沒有電腦可以模擬,沒有網路可以查,只能手算看對不對。但是這些式子一個比一個複雜,又沒有理由跟證明,莫怪乎哈第起先以為是惡作劇!(也莫怪乎之前拉瑪努金寫給其他兩位數學家,都被退信)。總算是老天有眼,哈第讀了信,不讀則已,讀後大驚失色,信裡面有一些連他都無法想像的正確等式。慧眼識英雄,於是他想辦法在1914年把拉瑪努金接到英國,兩個人密切合作得到了豐富的數學成果。但是很不幸,也許因為英國潮溼陰冷的冬天讓拉瑪努金水土不服,他1916年生病後一直沒好,1919年為了養病回到印度,隔年就過世了。

  拉瑪努金對數字的敏感使得他在數論上有許多重要的貢獻。哈第和拉瑪努金合作的重要成果之一是給出了分割數(partition number)\(p(n)\)的漸近公式。\(p(n)\)是把\(n\)寫成正整數和的方法(順序不計),例如\(p(4)=5\),因\(4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1\);又例\(p(10)=42\)等。看來不怎樣,但讀者如果還記得本刊2009年10月號組合數學的封面故事,應該有印象\(p(n)\)是多麼不可預測,且\(p(n)\)的公式有多困難。很難想像\(p(100)\)可以等於190569292,而\(p(1000)\)可以多到誇張——\(p(1000)=24061467864032622473692149727991\)。

  在1918年哈第和拉瑪努金得到︰\( \displaystyle p(n)\sim \frac{e^{\pi}\sqrt{\frac{2n}{3}}}{4n \sqrt{3}} \)
另外一個和\(p(n)\)有關的是,拉瑪努金發現\(p(n)\)有一些倍數關係。讀者可以觀察下表,看看能不能猜到:

\(n\)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

\(p(n)\)

1

1

2

3

5

7

11

15

22

30

42

56

77

101



  拉瑪努金說,不管\(k\)是多少, \(p(5k+4)\)一定是5 的倍數,\(p(7k+5)\)一定是7 的倍數,\(p(11k+6)\)一定是11的倍數。附帶一提,讀者也許說,這看起來也沒什麼,看來有規則不是嗎?也許\(p(13k+1)\)或\(p(13k+2)\)、\(p(13k+3)\)、……、\(p(13k+12)\)、\(p(13k)\),反正總有一個一定是13的倍數,不是嗎?錯!上面任何一個都不會一直是13的倍數。那到底有沒有\(a\)、\(b\)讓\(p(ak+b)\)永遠是13的倍數?答案是有的。在1960年才由數學家阿特金(A. O. L. Atkin)找到:不管\(k\)是多少,\(p(17303k+237)\)是13 的倍數!

  還有一個重要的結果,現在稱為羅傑-拉瑪努金等式(Rogers-Ramanujan identities)。它在數學的分支「表現理論」,甚至「理論物理」中都是重要的。原始的羅傑-拉瑪努金等式有兩個,其中一個是:\( \displaystyle 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{q^k}^2}{(1-q)(1-q^2)\ldots(1-q^k)}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5k+1})(1-q^{5k+4})} \)

  數學家舒爾(Issai Schur)給了分割數的解釋;「把\(n\)分割,但是任兩部分的差都至少要是2的方法數」,會等於「把\(n\)分割,但是每一個部分都長得像是\(5k+1\)和\(5k+4\)的方法數」。比如6的分割,前者有\(6=5+1=4+2\)這三種方法,後者有\( 6=4+1+1=1+1+1+1+1+1 \)這三種方法。這樣一個簡單的解釋為什麼會是對的,卻難倒了眾多數學家,直到1980年才有第一個複雜的解釋,2006年才有一個還算滿意的解釋,但到現在都還是數學家關注的焦點之一。

  數以千計的數學家有系統地介紹和證明拉瑪努金的定理,出版成套書Ramanujan's Notebooks,一共好幾巨冊,中研院數學所就有一整套。神奇天才的故事永遠受人歡迎,拉瑪努金的故事在2007年還被演成舞台劇《消失的數字》(A Disappearing Number),得了不少獎。但是故事永遠不嫌多,1976年數學家安德魯斯(G. Andrews,美國科學院院士,研究分割數的權威)在劍橋三一神學院的圖書館,發現了87張拉瑪努金的手稿,裡面有超過600個新的結果!這件事轟動了數學界,這87張紙被稱為Ramanujan's Lost Notebook。這根本是「四十二章經」,現實生活中的武俠小說情節!1997年,數學界更多了一個學術期刊,名稱就叫做《拉瑪努金》(Ramanujan Journal),這個期刊旨在發表和拉瑪努金的數學結果有關的學術研究。

  到頭來我們總想知道,拉瑪努金怎麼發現這些東西?據哈第的口述,拉瑪努金給了一個無法模仿的答案--拉瑪努金說,故鄉的女神托夢給他,他早上醒來就把結果寫下來。所以我們只能說,這真是印度來的奇蹟。

  但天才到底是怎麼一回事?我個人一直喜歡以下軼事(故事也是來自哈第)的兩個不同解讀觀點。哈第去探病,對病床上的拉瑪努金說,「剛剛坐計程車來,車牌是1729,這真是一個相當無聊的數字。」拉瑪努金馬上說,「你錯了,1729一點也不無聊。1729是能用兩種不同方法寫成兩個正整數立方和的數字中,最小的那一個」。\(1729=1^3+12^3=9^3+10^3\)。讀完這個軼事,一個觀點會是,哇!果然是印度來的神蹟,這真是神啟,拉瑪努金果然是天才。但因為我們都是凡人,我更喜歡另一個觀點:拉瑪努金之所以能馬上回答,是因為之前下過許多功夫--不要說1729,也許到2000以前的每個數他都曾經鑽研過,所以才能反應得那麼快。

  就像哈第對拉瑪努金的描述:「他有超人的記憶力與無比的耐心,而且擅於計算和推廣,對公式有特殊感覺,而且迅速修正自己的假設,這些,讓他成為獨一無二的數學家。」

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再補充三題無窮根號的題目
\( 1+2 \sqrt{3}sin20^{\circ}=\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\ldots}}} \)
\( 1+4sin10^{\circ}=\sqrt{11-2\sqrt{11+2\sqrt{11-\ldots}}} \)
\( 1+4 \sqrt{3}sin20^{\circ}=\sqrt{23-2\sqrt{23+2\sqrt{23+2\sqrt{23-\ldots}}}} \)


\( 1+2\sqrt{3}sin20^{\circ} \)
\( =\sqrt{1+4\sqrt{3}sin20^{\circ}+12sin^2 20^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+4\sqrt{3}sin20^{\circ}-6cos40^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+4\sqrt{3}sin20^{\circ}-4\sqrt{3}cos30^{\circ}cos40^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+4\sqrt{3}sin20^{\circ}-2\sqrt{3}cos70^{\circ}-2\sqrt{3}cos10^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+2\sqrt{3}cos70^{\circ}-2\sqrt{3}cos10^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7-4\sqrt{3}sin30^{\circ}sin40^{\circ}} \)
\( =\sqrt{8-(1+2\sqrt{3}sin40^{\circ})} \)
\( =\sqrt{8-\sqrt{8+(2\sqrt{3}sin80^{\circ}-1)}} \)
\( =\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-(1+2\sqrt{3}sin20^{\circ})}}} \)


利用類似的方法
\( 1+4sin10^{\circ} \)
\( =\sqrt{11-2(1+4sin50^{\circ})} \)
\( =\sqrt{11-2\sqrt{11+2(4sin70^{\circ}-1)}} \)
\( =\sqrt{11-2\sqrt{11+2\sqrt{11-2(1+4sin10^{\circ})}}} \)


\( 1+4\sqrt{3}sin20^{\circ} \)
\( =\sqrt{23-2(4\sqrt{3}sin80^{\circ}-1)} \)
\( =\sqrt{23-2\sqrt{23+2(1+4\sqrt{3}sin40^{\circ})}} \)
\( =\sqrt{23-2\sqrt{23+2\sqrt{23+2(1+4\sqrt{3}sin20^{\circ})}}} \)

出處
https://books.google.com.tw/book ... ge&q&f=true

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拉馬努金

上述的方法,對我而言技巧性高,讀過易忘。故嘗試模仿其思維,另尋一個較易體會的解題動機。

由連結文章內容知,題目中令人困惑的 "無窮根號" 形式,其實可由遞迴關係,配合反覆代入而形成。

體認了 "遞迴關係 + 反覆代入" 可產生 "無窮xx" 形式,再觀察題目式形態,數字,及其規律後,可知:

如果找到一個函數 f (n),滿足

f (n) = √ [ (n+5) + (n+1)*f (n+1) ]   (此取法是以題目式的 " √ " 為 "新的起始點",當然亦有別的取法)

則 f (1) 即為所求 (藉由反覆代入)。

以下開始求 f (n):

上式平方得 f ²(n) = (n+5) + (n+1)*f (n+1)......(#)

由形態,合理地先嘗試多項式函數,易知 f (n) 次數為1,且可令為 n+a,代回 (#) 式:

(n+a)² = (n+5) + (n+1)*(n+a+1),得 a = 3

即 f (n) = n+3,n∈N,則所求 = f (1) = 4

當然寫試卷時,逕令 f (n) = n+3 = √ [ (n+5) + (n+1)*f (n+1) ],n∈N,再反覆代入即可。

-----------------------------------

再嘗試上述連結中的 8#,站長 weiye 老師提供的類題:

目標: 找到函數 f (n),滿足:

f (n) = √ [ (n+4)² - 4*f (n+1) ]

平方得 f ²(n) = (n+4)² - 4*f (n+1)

類似上題,令 f (n) = n+b,則 (n+b)² = (n+4)² - 4*(n+b+1),得 b = 2

即 f (n) = n+2,n∈N,則所求 = f (1) = 3




[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-7-1 12:10 編輯 ]

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籠罩數學家拉馬努金的那些陰影
https://www.scimonth.com.tw/tw/article/show.aspx?num=4116
作者/李國偉/中央研究院數學研究所兼任研究員。

今年4月26日是數學史上最神奇的天才拉馬努金的百年忌日,他雖然給世界留下極為豐富的知識遺產,但令人惋惜的是他的生命只有短暫的32年。拉馬努金創造出許多超越同時期數學家的成果,但是因為他的方法顯得比較古老,因此在他身後有一段歲月裡,他的名聲只在專家的圈子裡流傳。

1976年,安德魯斯(George Andrews)在劍橋圖書館發現了拉馬努金遺留的手稿,就像先前公開過的兩大本筆記,這本「遺失的筆記」中寫滿神秘的數學式子卻沒有證明細節,重新引起數學界研究拉馬努金的熱潮。時至今日,拉馬努金的思想甚至花開葉散到統計力學、粒子物理、弦論、電腦代數、密碼學及圖論等領域。對於拉馬努金這種絕世天才的學術成就,常人也許只能膜拜而無力理解,但是做為血肉之軀,天才的人生也難免有各式各樣的陰影,倒讓人們有機會將心比心加以貼近。

來自印度不世出的奇才 數學及英語卻成陰影
印度東南部的商業與行政中心清奈(Chennai),在1996年以前名為馬德拉斯(Madras),是由英國殖民者於17世紀所建立。1913年1月16日,馬德拉斯的一位小職員給英國劍橋大學著名數學家哈代(Godfrey H. Hardy)寄出一封信,首尾分別是這麼寫的:

「請容我自薦如次,在下為馬德拉斯港務信託處會計室職員,年薪僅20 英鎊。今年約23 歲,未受大學教育,但曾就讀一般學校。自畢業之後,利用公餘閒暇鑽研數學。雖未按部就班學習大學正規課程,卻能自闢蹊徑。特別是廣泛研究發散級數,本地數學家咸認所得結果『出人意表』……懇請您審閱所附論文。倘若您確信其中有任何價值,因我貧窮,請助我將定理予以發表。我雖未提供研究詳情與完整結果,然已勾勒出探索的輪廓。又因我缺乏經驗,您能給的任何建議,均將萬分珍惜。」

寫信者拉馬努金出生於1887年12月22日,其實當時他已25歲。這封長達11頁的來信包含約120條公式,哈代與好友李特伍德(John E. Littlewood)徹夜研讀了拉馬努金的結果,從那些奇妙而不知何處導來的式子裡,窺見一位不世奇才的降臨。哈代甚至向羅素(Bertrand Russell)炫耀自己發現了第二個牛頓。

哈代在2 月8 日回覆拉馬努金的信中,催促他趕快寄來完整的證明。拉馬努金在2 月27 日寄給哈代的第二封信中說:

「在目前階段,只希望求得像您如此有聲望的教授,肯定我確有一些價值。我已經是食不果腹的人了,如要保持頭腦存活,我需要食物,也正是目前的首要考慮。您鼓勵我的片語隻字,都有助於我獲得此地大學或政府的獎學金。」

這回拉馬努金又增加一些公式,但仍然沒有提供證明。使得哈代在3月26日的回信裡,甚至做出如下的辯解:

「李特伍德先生提醒我,你不願意提供證明的理由,可能是顧忌我會如何使用你的成果。讓我很坦率向你表白,你手中已經掌握三封我給你的長信,其中我明確地說到你已證明,或者宣稱有能力證明的結果……很顯然如果我企圖不當使用你的成果,你將十分容易揭發我。我相信你會包涵我如此直率地表態:如果我不是真實而迫切地想看到如何協助你謀求更好的機會,使得你能夠一展明顯的數學天賦,我就不會做這一切了。」

拉馬努金對於得出精彩結果的興致,顯然高過記錄推算的步驟。拉馬努金在印度只自學過五本數學書,最主要的是卡爾(George S. Carr)所編寫的《純粹數學初等結果概要》(Synopsis of Pure Mathematics),此書羅列4865條公式而鮮少附加證明。以拉馬努金的數學天賦,循序漸進確實有可能補足公式成立的道理。他也許從這本書中見聞習染並列出公式,但結果卻都省略證明的步驟過程。而哈代的回信多少有點傷到拉馬努金的自尊,他在4月17日回信給哈代的信中辯解道:

「經李特伍德先生建議而你寫下的表白,有些令我感受刺痛。我一點都不擔憂別人使用我的方法。恰好相反,在過去八年中我掌握了這些方法,卻沒有找到任何能理解的人。在前封信中我表示過,你是位產生共鳴的友人,因此我願意將區區所得,盡皆交付與你。正因為我使用異於尋常的方法,使我即使現在仍怯於傳達我是如何沿著自己的路徑,獲得那些已經告訴過你的結果。不過在這封信裡,我將嘗試給出你們能接受的證明……我的英文純熟程度不佳,以致於很難在整理思路之後,表達成得以見容於你的形式。對於有關質數分布的公式,這次我將嘗試給出證明。」

從拉馬努金的信中可看出,無論是數學或英文他都存在心理上的陰影,所以他特別渴望別人的肯定。其實研判拉馬努金每封信裡數學內容的對錯,都令哈代十分耗費心力,幾乎到1914年底哈代才再次回信,其中說道:

「說實話,質數理論充滿了陷阱,想要克服困難必須經過現代嚴密方法的完整訓練,那是你自然缺乏的。我希望你不要被我的批評喪氣。我認為你的論證非常突出又具創意。你證明了你曾宣稱獲得證明的結果,就已經是整個數學史上最了不起的數學成就了。」

拉馬努金終於找到哈代這位貴人,經由哈代及多方面協助下,1914年4月14日拉馬努金抵達英國,從此展開一段數學史上最傳奇的合作關係。

水土不服成為另一道陰影 結果導致英年早逝
拉馬努金抵達英國不久後就爆發了第一次世界大戰,包括李特伍德在內不少劍橋師生都離校參加抗戰。在這種氛圍裡,拉馬努金除了感覺寂寞,還要適應文化上的差異及英國的寒冷天氣。根據他一位劍橋的印度朋友回憶,他曾看見拉瑪努金在宿舍烤火,便問他睡覺時夠不夠暖和?拉馬努金說有穿大衣裹圍巾。朋友見床上幾層毛毯都平整鋪妥,而上面覆蓋的白布單卻有用過的痕跡。原來拉馬努金不知道英國人的習慣是要把毛毯揭開將身子鑽進去,但他卻蓋著白布單和衣物而眠。

此外,因為拉馬努金堅持素食的習慣,在英國用餐就成為麻煩問題。由於學院餐廳的大廚根本不會做印度式素食,即使他們能烹調一些蔬菜,拉馬努金還嫌鍋具已經沾染過葷油,結果他只好自己準備飯菜。但適合他的食材不要說戰時,即使是平時也不容易在劍橋購得,所以他的營養很難獲得充分補充。另外,劍橋學者主要進行交流的場合是學院餐廳,然而因著拉馬努金的素食習慣,他從來不曾現身餐廳。這也令他更加孤立,從而不時產生沮喪與抑鬱的情緒。拉馬努金甚至經常廢寢忘食鑽研數學30小時,然後蒙頭大睡20小時。這種不利於健康的作息方式,更是逐漸損害了他的身體。

根據哈代的追憶,1917年春季拉馬努金的健康開始出現問題。他在夏季進入劍橋一家療養院,之後就不曾長時間脫離病床。他輾轉住過好幾處療養院,直到1918年秋季病況才有些好轉。這段時間,拉馬努金的心理健康也讓朋友擔心,他甚至在1918年2月跳下倫敦地鐵軌道企圖自殺,幸好列車及時煞住未釀成悲劇。拉馬努金在英國的病歷現在都已不存在,後人只能從友人存留的信件中梳理出一個輪廓。最早醫生懷疑他有消化道潰瘍,後來多半按照肺結核來治療。1918年11月哈代的信中又說,醫生們的共識是他感染了來源不明的膿血症。

1919年2月27日拉馬努金終於登上輪船,告別停留了五年的英國。朋友們都希望他能在印度溫暖天氣及可口食物的調養下,徹底恢復健康。遺憾的是拉馬努金返國後不久宿疾再發,除了斷斷續續的高燒之外,有時還伴隨劇烈的胃痛。雖然他的太太阿瑪爾(S. Janaki Ammal)盡心盡力照顧,仍然不幸英年早逝。治療他的醫生在他過世第二天的日記裡寫下:「如果拉馬努金能遵照我的醫囑,1920年4月26日的死亡其實有可能避免……,他染病初期遭受了輕忽……也許是他周邊的人知識不足的關係……令人悲痛的是,好幾次他告訴我已經喪失活下去的意志,他也告訴我其實自己不應該回印度了。」

拉馬努金生前一直無法確診到底得了什麼病,根據一項1994年的調查研判,他極可能早年感染了肝阿米巴蟲(Amoeba)。以1918年的醫療水準而言,這是一種不易正確診斷的致命熱帶疾病。

拉馬努金在1909年7月14日與9歲的阿瑪爾奉母之命行婚禮。到1912年阿瑪爾進入青春期後,他們才真正同居生活。1984年阿瑪爾曾經告訴研究拉馬努金數學遺產的專家伯恩特(Bruce C. Berndt),拉馬努金回到印度家中第一句話就說當初應該帶太太去英國,如果有太太在身邊烹飪與照顧,他的飲食與睡眠就不會漫無章法。後期生活中缺乏一個堅實的支撐力量,也許是籠罩拉馬努金人生的最深陰影。而這道陰影也間接導致了拉馬努金的悲劇,他本該閃耀的一生就在此戛然而止。

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