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面積問題

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面積問題

P為正三角形ABC內切圓上的一點,P關於三邊的對稱點分別為P1、P2、P3,則三角形P1P2P3的面積為正三角形ABC的幾倍?

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答案是 3/4,請看圖,不解釋



[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-4 10:13 AM 編輯 ]

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根據鋼琴老師的那兩條輔助線
如果正三角形邊長固定
(抱歉,剛才我打錯了,修改一下)
那麼P3A*P1A+P1B*P2B+P2C*P3C
一定是定值囉
至於怎麼算出這定值並證明
我還要再思考一下

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-7-4 11:14 AM 編輯 ]

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不好意思,小弟幾何還有待加強
只想得到這種爛方法
先假設正三角形邊長為2根號3
則內接圓的半徑為1
剛才的
P3A*P1A+P1B*P2B+P2C*P3C
=PA^2+PB^2+PC^2
然後架座標
A(0,2),B(-根號3,-1),C(根號3,-1)
P(cosx,sinx)
展開後得PA^2+PB^2+PC^2=15
於是得到答案為3/4
......中間過程不再贅述(像是角P3AP1=角P1BP2=角P2CP3=120度......)

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-7-4 11:33 AM 編輯 ]

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我來改一下題目:
P為正三角形ABC外接圓上的一點,P關於三邊(延長線)的對稱點分別為P1、P2、P3,
證明P1,P2,P3三點共線

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回復 5# Ellipse 的帖子

真的耶
好奇妙喔!

這直線是不是恆通過正三角形的中心
就是圓心?

只要證明對任兩邊做對稱的點
兩點決定的直線必過圓心
則可證明三點共線

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-7-4 03:14 PM 編輯 ]

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2014-7-4 14:58

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引用:
原帖由 tsyr 於 2014-7-4 02:58 PM 發表
真的耶
好奇妙喔!

這直線是不是恆通過正三角形的中心
就是圓心?

只要證明對任兩邊做對稱的點
兩點決定的直線必過圓心
則可證明三點共線
有點像"西姆松定理"~

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回復 7# tsyr 的帖子

更神奇的是,橢圓兄所說的性質對任意的三角形都成立喔,同時也會過三角形的垂心。

如橢圓兄所提,類似"西姆松定理",有興趣可以查查關鍵字"史坦纳定理"。

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還是來回復一下好了
順便補充說明,並附個圖

西姆松定理
過三角形外接圓上任意一點(P)作三邊的垂線
則三垂足(Q1、Q2、Q3)共線,此線稱為 西姆松線

其實證明很簡單,用共圓即可

根據此定理
將P點沿垂足方向延長為2倍
因此P1、P2、P3也共線

史坦納定理
設△ABC的垂心為H,點P為△ABC外接圓上任意點,則點P關於△ABC的西姆松線通過線段PH的中點。

換句話說,P1、P2、P3共線且"過三角形的垂心"

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2014-7-4 17:00

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