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TRML 個人賽 2000 高斯函數問題

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TRML 個人賽 2000 高斯函數問題

例  求 \(\left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] +  \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \) 的值? 其中\(\left[ a \right]\)表示不超過\(a\)的最大整數

(1) 先求 \(1 + 2 + {2^2} +  \cdots  + {2^{100}} = {2^{101}} - 1\)


(2) \(\frac{{1 + 2 + {2^2} +  \cdots  + {2^{100}}}}{3} = \frac{1}{3}\left( {{2^{101}} - 1} \right)\)

(3) \(\left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] +  \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \)

因為取了高斯函數後,都是整數相加,求和的值會變小

第一項 扣  \(\frac{1}{3}\) ,第二項 扣 \(\frac{2}{3}\)  ,第三項 扣 \(\frac{1}{3}\)
第四項 扣 \(\frac{2}{3}\) ................
由此規律加上同餘理論 奇數項 扣 \(\frac{1}{3}\)
                                   偶數項 扣 \(\frac{2}{3}\)

奇數項共51項,偶數項共50項
\(\frac{1}{3} \times 51 + \frac{2}{3} \times 50 = \frac{{151}}{3}\)

(4) \(\left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] +  \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \frac{1}{3}\left( {{2^{101}}} \right) - \frac{1}{3} - \frac{{151}}{3} = \frac{1}{3}\left( {{2^{101}} - 152} \right)\)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-6-18 07:41 PM 編輯 ]

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請問一下,那下面的問題如何解答?
設\(n>0\),則\( \displaystyle \left[ \frac{n+1}{2} \right]+\left[ \frac{n+2}{2^2} \right]+\ldots+\left[ \frac{n+2^{k-1}}{2^k} \right]+\ldots= \)?

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回復 2# tsyr 的帖子

103 鳳新高中 #2 有神解

如果 \( n \in \mathbb N \),則和為 \( n \)

如果只是 \( n > 0 \),那應該是 \( [n] \),小數的部分沒作用
文不成,武不就

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真的太神了~~~~~~~~~~~~~~~~~~謝謝!!

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