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1999 TRML 思考賽 問題七 絕對值求和

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1999 TRML 思考賽 問題七 絕對值求和

\[\sum\limits_{a = 1}^m {\sum\limits_{c = 1}^m {|a - c| = \frac{{{1}}}{3}} m({m^2} - 1)} \]
這個等式要如何推導??

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-6-9 01:42 PM 編輯 ]

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回復 1# shingjay176 的帖子

我先拆一個sigma後考慮a到數線上1,2,3,...,m的距離和去看:
變成\(\sum\limits_{a=1}^{m}{\left( \left| a-1 \right|+\left| a-2 \right|+...+\left| a-m \right| \right)}=\sum\limits_{k=1}^{m}{\left[ \left( 1+2+...+\left( m-k \right) \right)+\left( 1+2+...+\left( k-1 \right) \right) \right]}\)
在化簡成\(\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{k=1}^{m}{\left( {{m}^{2}}+m \right)+}2\sum\limits_{k=1}^{m}{{{k}^{2}}}-2\left( m+1 \right)\sum\limits_{k=1}^{m}{k} \right)\)
化簡完即為所求
只是不知道有沒有更快的方式,待補

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-9 02:36 PM 編輯 ]

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回復 1# shingjay176 的帖子

注意 \( c=a \) 時  \( |a-c| = 0 \),及 \( |x-y| = |y-x| \)

故 \( \displaystyle \sum\limits _{a=1}^{m}\sum\limits _{c=1}^{m}|c-a|=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| \)

令 \( p = c-a,  q = m-a+1 \),

則 \( \displaystyle 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| = 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{p=1}^{m-a}p=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}C_{2}^{m-a+1}=2\sum\limits _{q=2}^{m}C_{2}^{q}=2C_{3}^{m+1}=\frac{m^{3}-m}{3} \)
上行,第四個等號用了帕斯卡定理
文不成,武不就

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回復 3# tsusy 的帖子

這....真的是太神了(拜

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回復 3# tsusy 的帖子

我後來全部寫開來,也是想到        hua0127老師的作法。
寸絲的解法,快又神~

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