發新話題
打印

請教 對於任意小於1的實數x,f(x)=a49^x+7^x+1恆大於0,求a範圍?

推到噗浪
推到臉書

請教 對於任意小於1的實數x,f(x)=a49^x+7^x+1恆大於0,求a範圍?

對於任意小於1的實數x,f(x)=a49^x+7^x+1恆大於0,試求a的範圍?

TOP

解答是 a大於等於-8/49

TOP

感謝  已解決
a49^x+7^x+1>0  所以 a49^x>-(7^x+1)=>a49^x>-(7^x+1)/49^x
又x<1  所以 用x=1 =>   a>-8/49

TOP

\(a\cdot49^x+7^x+1>0\)

\(\displaystyle
\Leftrightarrow \left(\frac{1}{7^x}\right)^2+\left(\frac{1}{7^x}\right)+a>0
\)

令 \(\displaystyle t=\frac{1}{7^x}\),\(\displaystyle g(t)=t^2+t+a=\left(t+\frac{1}{2}\right)+a-\frac{1}{4}>0\)

因為 \(x<1\),所以 \(\displaystyle
t=\frac{1}{7^x}>\frac{1}{7}\)


依題述,可知 \(\displaystyle
g(t)>0, \forall t>\frac{1}{7}\)

因為 \(g(t)\) 當 \(\displaystyle t\geq-\frac{1}{2}\) 時,為嚴格遞增函數,

\(\displaystyle
\Rightarrow g(t)>g(\frac{1}{7})\geq0, \forall t>\frac{1}{7}\)

\(\displaystyle
\left(\frac{1}{7}\right)^2+\left(\frac{1}{7}\right)+a
\geq0\)

\(\displaystyle a\geq-\frac{8}{49}\)

註:感謝 thepiano 老師提醒答案漏掉等號。

TOP

若 a = -8/49 時
f(x) = (-8/49) * 49^x + 7^x + 1
f(1) = 0
但對 x < 1 而言,f(x) 仍恆正

TOP

感謝大家的解答  ^^

TOP

發新話題