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2題數學

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2題數學

向大家請教一下這2題該如何解?

謝謝

1.建中通訊解題第60期第2題
http://math1.ck.tp.edu.tw/%B3q%B0T%B8%D1%C3D/doc/answer60.doc

2.已知 \(x,y\) 是實數,且\( \displaystyle \cases{(x-11)^5+15(x-11)=5 \cr (y-4)^5+15(y-4)=-5} \),則\( x+y= \)?


weiye 註:感謝 bugmens 協助找出第一題的題目出處,並且將第二題重新打字。故,由 weiye 刪除原題附加檔案。

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回復 1# 阿良 的帖子

第 1 題

延伸各邊長,可將此多邊形切成很多平行四邊形及一個正三角形,

不難解出各平行四邊形及一個正三角形的面積。

第 2 題:

令 \(f(x)=x^5+15x+c\),其中 \(c\) 為實數,

由 \(f\,'(x)=5x^4+15>0\) (\(\forall x\in\mathbb{R}\))恆成立,

可知 \(f(x)=0\) 恰只有一實根。

再搭配題述,可知 \(x-11\) 與 \(y-4\) 互為相反數,

故, \(\left(x-11\right)+\left(y-4\right)=0\Rightarrow x+y=15.\)

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第二題

我看不太懂第二題
請問可以詳加解釋嗎?

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回復 3# 阿良 的帖子

第 2 題,換個方式說明。

令 \(a=x-11\), \(b=y-4\) (因為 \(x,y\) 都是實數,所以 \(a,b\) 也都是實數)

可得 \(a^5+15a-5=0\) 且 \(b^5+15b+5=0\)

將第二式稍微整理一下,

\(b^5+15b+5=0\Rightarrow -b^5-15b-5=0\Rightarrow \left(-b\right)^5+15\left(-b\right)-5=0\)

也就是 \(a\) 與 \(-b\) 都會是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」的實根耶!

如果可以說明 \(t^5+15t-5=0\) 也就只有一個實根而已,那就可以得到 \(a=-b\) 了。




所以下面來說明為什麼 \(t^5+15t-5=0\) 也就只有一個實根。

若 \(p,q\) 都是 \(t^5+15t-5=0\) 的實根,且 \(p\neq q\)

因為 \(p\neq q\),所以 必有 \(p>q\) 或 \(p<q\) 其中一個,

不失一般性可以假設 \(p>q\)("不失一般性"也就表示若 \(p<q\) 也可以用同樣方法處理之)

則 \(p^5>q^5\) 且 \(15p>15q\)

\(\Rightarrow p^5+15p>q^5+15q\Rightarrow p^5+15p-15 = q^5+15q-15\)

但是因為 \(p,q\) 都是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」的實根,也就是說 \(p^5+15p-15=0\) 且 \(q^5+15q-15=0\)

因此,帶入 \(p^5+15p-15 > q^5+15q-15\) 會得到 \(0>0\)

這顯然是矛盾的。

可是上面的推論都很合理呀,所以是哪裡錯了導致矛盾發生了,

就是我們一開始假設的 \(p>q\) 錯了,

同上面的手法,可以說明 \(p<q\) 也會是錯的,

因此 \(p=q\)

也就是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」不會有不一樣的實根(即,不會有「相異的」實根),

也就是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」如果有兩個實數都是它的根,那這兩個數必定相等。



回到剛剛的主題,

因為 \(a\) 與 \(-b\) 都會是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」的實根,

且 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」不會有不一樣的實根,

也就是 \(a\) 一定要與 \(-b\) 相等,

\(\Rightarrow a=-b\Rightarrow a+b=0\Rightarrow \left(x-11\right)+\left(y-4\right)=0\Rightarrow x+y=15\)

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<很謝謝weiye老師的詳盡解答,為小弟解惑>

[ 本帖最後由 阿良 於 2014-3-15 09:41 PM 編輯 ]

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