發新話題
打印

1987AIME-直角三角形內接正方形

推到噗浪
推到臉書

1987AIME-直角三角形內接正方形

13.  有兩個正方形以不同的角度放入一個直角三角形內,第一個正方形的面積為441,第二個正方形的面積為440。試求正三角形的兩股之和?
圖在http://www.jyeoo.com/math/ques/d ... 7-b5c7-ecf2f01c42c1

我覺得他的步驟太繁雜  應該有一些較簡潔的解法

請大家幫忙

103.3.11補充
補上出處1987AIME第15題
http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=1987

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-3-11 10:50 PM 編輯 ]

TOP

令 BC = a,AC = b
AB = √(a^2 + b^2)

由於相似,(b - 21)/21 = b/a
ab = 21(a + b)

再令 AB = x + √440 + y (由左上到右下分別是 x,√440,y)

x/√440 = b/a
y/√440 = a/b

AB = √440 * (b/a + 1 + a/b) = √440 * [(a + b)^2 - ab]/(ab)

√440 * [(a + b)^2 - ab]/(ab) = √(a^2 + b^2)
令 a + b = t
上述方程改寫成
√440 * (t^2 - 21t)/(21t) = √(t^2 - 42t)
√440 * (t - 21)/21 = √(t^2 - 42t)
440 * (t - 21)^2 = 441(t^2 - 42t)
t^2 - 42t - 440 * 441 = 0
(t - 22 * 21)(t + 20 * 21) = 0
所求 = t = 22 * 21 = 462

TOP

我一目瞭然   
也不覺得做法複雜
謝謝thepiano

TOP

發新話題