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向量一題求解

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向量一題求解

題目:兩向量 \(\vec{a}, \vec{b}\),\(\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|\neq0\),且 \(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|-\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|\),求 \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的夾角為何?

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回復 1# anson721 的帖子

題目:兩向量 \(\vec{a}, \vec{b}\),\(\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|\neq0\),且 \(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|-\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|\),求 \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的夾角為何?

解答: \(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|-\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|\)

\(\Rightarrow \left|\vec{a}+\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{a}-\vec{b}\right|\)

\(\Rightarrow \left|2\vec{a}-\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\right|=\left|2\vec{a}\right|+\left|\vec{a}-\vec{b}\right|\)

因為 \(\left|2\vec{a}-\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\right|\leq\left|2\vec{a}\right|+\left|\vec{a}-\vec{b}\right|\)

所以當等號成立時, \(2\vec{a}\) 與 \(\vec{a}-\vec{b}\) 方向相反,或 \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}\)

case i: \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}\Rightarrow \vec{a}=\vec{b}\Rightarrow \vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的夾角為 \(0^\circ\)

case ii:  \(2\vec{a}\) 與 \(\vec{a}-\vec{b}\) 方向相反 \(\Rightarrow \vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 平行,

    由 \(\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|\neq0\),可知 \(\vec{a}=\vec{b}\) (同 case i )或 \(\vec{b}=-\vec{a}\)

    將 \(\vec{b}=-\vec{a}\) 帶入 \(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|-\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|\) 檢查不合。

由 case i & ii ,可知 \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的夾角為 \(0^\circ\)

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題目更改,有勞大大了^^

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