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例題:多項式方程式根與係數的關係,應用例題

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謝謝  cefepime老師 瓜農自足老師  tzhau老師的解答!!

tzhau老師的解答 我看懂了 但我還是想學

cefepime老師  你的方法
我利用乘法公式來試解這題。

p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p+q+r)(p+qω+rω²)(p+qω²+rω) ; ω = (-1+√3 i)/2    (我記的這公式不是長這樣  你是把w帶入得到左式的嗎)

由於本題根的排列順序不同,可得兩個等值異號的所求值,因此可任擇一順序,最後再掛 "±"。  (這是怎麼想的)

由上式,知 x 的三次方程: x³ - 3qrx + (q³ + r³) = 0 之三根為 -q-r,-qω-rω²,-qω²-rω;   (不懂為何可以改成左邊的方程式)
在本題 qr = 1,q³ + r³ = - 4,則 q³ - r³ = ±√[(- 4)² - 4] = ± 2√3你的   (從這開始都懂了)

瓜農自足老師   可以跟你問一下
你的s_4=a^4+b^4+c^4=2p^2 是如何得到的  其他我都看懂了

小弟剛來版上學習  若問的問題太簡單 希望各位老師包含一下  謝謝各位老師

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回復 11# whzzthr 的帖子

p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p+q+r)(p+qω+rω²)(p+qω²+rω) ; ω = (-1+√3 i)/2
這個公式是不久前書上看到的,剛好這個題目浮上來,聯想到可以利用之。

至於怎麼導出它,書上沒提(當然乘開即知成立),不過應該可以:
p³ + q³ + r³ - 3pqr
= (p + q + r)(p² + q² + r² - pq - qr - rp)  (這個公式應該很常見)
= (p + q + r) [p² - (q + r)p + (q² + r² - qr)] (把後式整理為 p 的一元二次式型態)
以下套用一元二次方程式的公式解 p,即得 p = -qω-rω² 或 -qω²-rω
所以 p² + q² + r² - pq - qr - rp = (p+qω+rω²)(p+qω²+rω),完成。

" 由於本題根的排列順序不同,可得兩個等值異號的所求值,因此可任擇一順序,最後再掛 "±"。  "
因為減法沒有交換律,這個應該會想到。如果題目是一元二次方程式的兩根,應該很明朗吧! 可參考一樓 weiye 老師最後部分的說明。

" 由上式,知 x 的三次方程: x³ - 3qrx + (q³ + r³) = 0 之三根為 -q-r,-qω-rω²,-qω²-rω "
把最上面公式的 p 改寫為習慣上的 x,左式視為 x 的一元三次式,右式視為該三次式的因式分解,就可以得到這個結論了。

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先謝謝cefepime老師 那麼快就回復了

再謝謝cefepime老師 那麼詳細的解說  我終於了解了
這方法沒你講解  是不可能想得出來  小弟只能"跪著佩服"你能想出這解法

再次謝謝cefepime老師

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回復 11# whzzthr 的帖子

把方程推高一次方,再各代根得三等式,再用已知值就推的出來了。

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有錯再請各位大師指正,謝謝

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2018-7-14 11:38

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