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請教 cos27° 的兩種表示法~一題三角函數

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請教 cos27° 的兩種表示法~一題三角函數

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2013-2-9 16:35, 下載次數: 1010

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回復 1# ilikemath 的帖子

這是 98 能力競賽複賽台北市筆試二的題目

題目:已知 \( \cos27^{\circ} \)  的值可以表示成下述兩種形式:
\( \cos27^{\circ}=r\times\sqrt{8+2\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \)
\( \cos27^{\circ}=s\times(\sqrt{20+4\sqrt{5}}+\sqrt{10}-\sqrt{2}) \),

其中,\(r\)  與 \(s\)  為有理數,則數對 \( (r,s) \)  為 \( \underline{\qquad} \) 。

小建議:既然題目只有聊聊數行,有圖片(附件) 或 打字,呈現應該會更方便以後看帖子的人吧

解. 令 \( \theta =36^\circ \) 由 \( \sin3\theta = \sin 2\theta \) 及倍角公式可得 \( \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}\) 於是有

\( \cos54^{\circ} = \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \),

\( \cos27^{\circ}=\sqrt{\frac{1+\cos54^{\circ}}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\Rightarrow r=\frac{1}{4} \) 。

\( \begin{aligned}\left(\sqrt{20+4\sqrt{5}}+\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)^{2} & =32+4\sqrt{5}+2\sqrt{20+4\sqrt{5}}(\sqrt{10}-\sqrt{2})-2\sqrt{20}\\
& =32+2\sqrt{160-32\sqrt{5}}\\
& =4(8+2\sqrt{10-2\sqrt{5}}),
\end{aligned} \)

所以 \( \sqrt{20+4\sqrt{5}}+\sqrt{10}-\sqrt{2}=2\sqrt{8+2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\Rightarrow s=\frac{r}{2}=\frac{1}{8} \) 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-2-9 06:22 PM 編輯 ]
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