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請教一題三角問題:A+B+C=180度,證明 cosA cosB cosC<=(1/8)

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請教一題三角問題:A+B+C=180度,證明 cosA cosB cosC<=(1/8)

若A+B+C=180度
如何證明
cosA cosB cosC<=(1/8)

謝謝

試過"積化和差",算不出來
請教版上高手

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回復 1# arend 的帖子

之前寫過,但方法不是很漂亮,參考就好了,期待樓下證得更簡潔一點

當 \( \triangle ABC \)  為鈍角三角形或直角三角形時,\( \cos A\cos B\cos C\leq0\leq\frac{1}{8} \) ,不等式成立。

若 \( \triangle ABC \)  為銳角三角形,則 \( \cos A , \cos B , \cos C>0 \) 。

由算幾不等式得 \( \cos A\cos B\cos C\leq(\frac{\cos A+\cos B+\cos C}{3})^{3} \)

而 \( \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\leq2\cos(90^{\circ}-\frac{C}{2})=2\sin\frac{C}{2} \) 。

故有 \( \cos A+\cos B+\cos C\leq2\sin\frac{C}{2}+\cos C=2\sin\frac{C}{2}+1-2\sin^{2}\frac{C}{2}=-2(\sin\frac{C}{2}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}\leq\frac{3}{2} \) 。

綜合以上得 \( \cos A\cos B\cos C\leq(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8} \),等號成立條件為 \( \sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2} \)  且 \( \angle A=\angle B \) 。

又 \( \triangle ABC \)  為銳角三角形,故此即為 \( \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ} , \triangle ABC \)  為正三角形之時,等號才會成立。


上面的方法有點小瑕疵,是針對三角形 ABC 的三內角,而非任意的 \( A+B+C =180^\circ \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-12-20 07:17 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 2# tsusy 的帖子

若 \( \triangle ABC \)  為銳角三角形,
則 \( \cos A\cos B\cos C \leq ( \frac{\cos A+\cos B+\cos C}{3})^{3}  \leq ( \cos \frac{A+ B+C}{3})^{3}  \leq \frac{1}{8}  \)
三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

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謝謝
tsusy老師與李老師

這個問題我當時有想過算幾不等式
不過在書中(高中數學競賽教程P.162)
所提到只是三角形ABC
所以....

再次感謝你們

[ 本帖最後由 arend 於 2012-12-20 09:47 PM 編輯 ]

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回復 3# cplee8tcfsh 的帖子

另解,請參考,
若 \( \triangle ABC \)  為銳角三角形,
以下請自行作圖,作三角形的三高,AD,BE,CF,令AF,FB,BD,DC,CE,EA依序為a,b,c,d,e,f,
則 \( \cos^2 A\cos^2 B\cos^2 C =
\frac{a}{e+f} \frac{f}{a+b}
\frac{b}{c+d} \frac{c}{a+b}
\frac{d}{e+f} \frac{e}{c+d}
=
\frac{a b }{(a+b)^2}
\frac{c d }{(c+d)^2}
\frac{e f }{(e+f)^2}
\leq \frac{1}{64}
\)
三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

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引用:
原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-12-21 09:55 AM 發表
另解,請參考,
若 \( \triangle ABC \)  為銳角三角形,
以下請自行作圖,作三角形的三高,AD,BE,CF,令AF,FB,BD,DC,CE,EA依序為a,b,c,d,e,f,
則 \( \cos^2 A\cos^2 B\cos^2 C =
\frac{a}{e+f} \frac{f}{a+b}
\frac{b}{c+d} \) ...
謝謝 李老師

想通了,好方法
謝謝

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